对任意正数$n$，$g(n)$是最大的能被$n$整除的完全平方数。
比如$g(18)=9,g(19)=1$。
定义
$$S(N)=\sum_{n=1}^ng(n)$$
例如$S(10)=24,S(100)=767$。
求$S(10^{14})$，结果模$1’000’000’007$。
$10^{14}$非常大，遍历肯定是不现实的。
欧拉项目 | 114 & 115 题 | 染色块的组合数
115题是114题的扩展版本，所以分析115就足够了。
和116 & 117两个题目的思路是一样的，一层一层（也就是砖的下标）向前统计。
不过有两点不同，115题只限制了最小长度$m$，而没有限制最大程度，那么最大程度就是$n$，所有在最后求解满足条件的数量的和下一层灰色的数量的时候，需要从$m$累加到$n$。同时，由于长度不固定，那么在更新每层的颜色的时候，不能几个语句完成而要使用for循环更新所有状态。
下面给出代码，然后在代码里面解释为什么要这么做。
欧拉项目 | 116 & 117 题 | 铺瓷砖
这两道题非常类似，不过后一题比前一题稍微复杂点。
一排由5块灰色正方形瓷砖组成的长条中，有一部分被红色(长度为2)、绿色(长度为3)或蓝色(长度为4)中的一种颜色的长方形瓷砖所取代。
如果选择了红色，有七种方式：
如果选择了绿色，有三种方式：
如果选择了蓝色，就只有两种方式了：
总共有12种方式铺灰色长条。如果长灰色的长度是50，那么有多少种铺法呢？
欧拉项目 | 113题 | 单调数字
一个数如果左边的数字不会超过右边的数字，那么称为递增数，比如134468
反之，如果右边的数字不会超过左边的数字，那么称为递减数，比如66420
除了上述两种数之外的数称为跳跃数，比如155349
随着$n$的增加，跳跃数的比例在上升（非跳跃比例下降），比如一百万内有 12951 个非跳跃数，$10^{10}$以内有 277032 个非跳跃数。
求$10^{100}$以内有多少个非跳跃数。
很显然，不可能遍历。算法要和指数的大小相关。很直观的，要想办法从$i$位数字中非跳跃数的个数构造出$i+1$位数字中非跳跃数的个数。
欧拉项目 | 101题 | 多项式拟合
如果我们看到一个序列的前$k$项，不能确定下一项的值，因为有无限多的多项式函数可以模拟这个序列。
比如立方函数产生的序列：
$$u_n=1,8,27,64,125,216\dots$$
如果只给出前两项，最佳匹配（最简单）是线性函数，那么下一项是15。如果给出前三项，那么最佳匹配是二次多项式。
我们定义$OP(k, n)$为序列前$k$项的最优多项式函数的第$n$项。如果$n\leq k$，那么能够精确表示序列的第$n$项。潜在的第一个不匹配项FIT（first incorrect term）是$OP(k, k+1)$，这种情况称为称作bad OP（BOP）。
如果只给出一项，最明智的选择是常数函数。
因此，对于立方函数的序列来说，OP如下所示：
$$\begin{aligned}
OP(1,n)&=1&&1,1,1,1\dots\
OP(2,n)&=7n-6&&1,8,15\dots\
OP(3,n)&=6n^2-11n+6&&1,8,27,58,\dots\
OP(4,n)&=n^3&&1,8,27,64,125\dots
\end{aligned}$$
$k\geq 4$就没有BOP了。
所有的FIT之和是$1+15+58=74$。
对于下面的十阶多项式函数
$$u_n=1-n+n^2-n^3+n^4-n^5+n^6-n^7+n^8-n^9+n^{10}$$
求所有BOP对应的FIT之和。
怪诞行为学 | 有点长的小结
整本书通过一个个真实的案例，或者是精心设计的实验，将十二个小道理娓娓道来，这里面有些让人感觉耳目一新，或许隐约知道而这里系统的表达出来。
道理都懂，更应该常常回顾这些小道理，让人生过得更通透。
第一章 相对论的真相：为什么我们喜欢比较和攀比
人们很少做不加对比的选择。我们的心里并没有一个“内部价值计量器”来告诉我们某种物品真正的价值是多少。相反，我们关注的这种物品与其他物品的相对优势，以此来估算其价值。多数人只有到了具体情境才知道自己真正想要的是什么。
事实上，我们总是靠观察周围的事物以确定彼此的关系。我们不但喜欢将事物与事物相互比较，而且喜欢比较容易比较的，以此来避免不容易比较的事物。
比如A和B，两个衡量维度，俩者各有优缺点，我们很难比较，但是如果有了A-，它在两个维度上都比A略差，我们往往会选择A，至少，A比A-要好。
欧拉项目 | 84题 | 大富翁
这个游戏就是小时候玩的大富翁，掷骰子来决定前进步数，到了某个方格可能会触发一些事件，转移到某个方格。
问题如果无限玩这个游戏，那么走到哪三个格子的概率最大呢？
一个比较正规的做法是建立一个四十乘四十的矩阵，是概率转移矩阵，记录每个格子转移到其他格子的概率，这个矩阵自乘成千上万次收敛之后，用初始状态，一个四十维的向量，和矩阵相乘，得到最终的四十维的向量，选择三个概率最高的格子。
老子今注今释 - 小记（下）
祸兮，福之所倚；福兮，祸之所伏。
不知这是第几次提及，老子描述矛盾统一的规律。这种观察事物的辨证方法，是其哲学上的最大成就。一切事物都在对立的情况中反复交变，这种反复交变的转化过程是无尽止的。这种循环倚伏之理，常令人迷惑不解。这里老子告诉我们，观察事物，不可停留在表面，应从显相中透视里层，作全面的了解。
老子的智慧让我们拉开了观察事物的视野，使我们能够拔于现实环境的局限，使我们不致为眼前的困境所陷住，也使我们不致为当下的心境所执迷。
治人事天，莫若啬。
老子提出“啬”这个观念，并非专指财物上的，乃是特重精神上的。我理解也可以包含身心这层含义，介于财务和精神俩者之间。“啬”即是培蓄能量，厚藏根基，充实生命力。
老子今注今释 - 小记（中）
企者不立，跨者不行。
踮着脚跟站不稳，跨步前行走不远。这就是自见、自伐、自矜的譬喻。这些轻躁的举动都是反自然的行径，短暂而不能持久的。
人法地，地法天，天法道，道法自然。
自然，自然而然。宇宙有四大，道，天，地，人。这四者都自然而行。道法自然，道以自然为归，道的本性就是自然。
自然这个概念是老子哲学的核心，基本精神。
故善人者，不善人之师；不善人者，善人之资。不贵其师，不爱其资，虽智大迷，是谓要妙。
这里不仅仅讲到“择其善者而从之，其不善者而改之”，更重要的是说善人要主动劝勉他人。有道者，无弃人无弃物的心怀。对于善人和不善人，都加以善待。特别是对于不善的人，并不因其不善而鄙弃他，一方面要劝勉他，诱导他，令一方面也可给善人作一个借鉴。
老子今注今释 - 小记（上）
下文可以当作阅读陈鼓应的《老子今注今释》的心得体会吧。全文以书本内容为主，增补些许个人感悟。
《老子》一书阐述了老子的哲学观，他的观点主要分成两块，一是对自然、世界本源的思考，二是对人的思考，后者分成两个层次，一是个人，二是统治者。老子关于“道”有很大程度形而上的东西，但是更关注的是人生和政治（更多的是对统治者的期许，或许是他基于那个纷乱的世界的思考）。写这篇文章是想总结一下对自然和世界本源的思考和对个人的思考。因为1）对自然、世界、宇宙的思考是共性问题；2）对人的思考可以作为实际人生的指导。
在开始讨论正文内容前，简单说说我对自然无为的认识。自然是指任何事物都应该顺任事物本身的情状去发展，而不应收到外界的的意志去制约它，所以自然不是指具体的东西，而是形容“自己如此”的状态；同时，老子的自然也不是指“大自然”的自然，也不是小时候学习的“自然课”指的自然。无为，涉及个人的修行，不过更多的讲统治者，从政治角度出发的，不是不为，不做事，而是不妄为，以无为的态度去为。不过时至今日，我个人觉得他这个思想对当今世界的政府的意义有，但是不大了，因为现在的政府要做的事情太多，同时世界的复杂度比古时要大得多得多。
陈鼓应也指出了老子一书的缺点，比如用类比得出结论，水（柔弱）滴石（刚强）穿来说柔弱胜刚强，如果非要举坚硬之物胜于柔弱之物的例子呢？所以这里理解老子本身的内涵就好，不要太钻牛角尖来驳斥一些论述有瑕疵的地方。