03 Multiplication
首先，我们来看一下手算乘法。
第一个操作数称为被乘数（multiplicand），第二个操作数称为乘数（multiplier），最后结果是乘积（product）。
乘积可能比被乘数和乘数都要打。不考虑符号位的情况下，如果被乘数有 比特，乘数有 比特，那么总共需要 来存储乘积。由于通常情况下，我们使用 32 比特来存储两个 32 比特数的乘积，因此类似于加法，需要考虑溢出的情况。
下面会打破传统的算法，阐述乘法算法和硬件的演进。
Sequential Version of the Multiplication Algorithm and Hardware
模拟手算，我们可以设计出如下硬件。
乘数是 32 比特寄存器，乘积是 64 寄存器，初始值是零。被乘数需要左移然后和乘积相加，一个 32 比特数左移 32 次，所以使用 64 比特寄存器存放被乘数，右 32 比特初始化成被乘数，左 32 比特初始化成零。每次左移一位，和手算一样，这样才和要加的乘积对齐。
下图展示了对于每个比特来说最主要的三个步骤。
第一步是判断乘数最低位，确定是否要把被乘数加到乘积上。第二步就是左右被乘数，和手算算法一致。第三步右移乘数，使得下一次迭代检查下一个比特。这三个步骤需要循环 32 次。如果每一步花费一个时钟周期，计算 32 比特乘法大致需要 200 个时钟周期。根据程序不同，乘法的重要性是不同的，不过一般而言加减法是乘法的 5 倍到 100 倍。所以乘法多花费一点时间对于程序的性能影响不大。根据 Amdahl 定理，低频的慢的操作也可能会限制程序的性能。
一个优化是当乘积加被乘数的时候，被乘数和乘数同时移位。此时硬件只需要保证测试的乘数的比特是移位之前的即可。新的设计如下图所示。被乘数和加法器的比特数都缩小了一倍。乘积使用 64 比特，低 32 比特是乘数，高 32 比特初始值是零，被加数。移动乘积等价于同时移动了被乘数和乘数。
由于移位比乘法快很多，所以编译器会优化一个数乘以一个常数，如果其是 2 的幂次，可以优化成一次移位操作，如果是很小的数，也可以优化成几个移位操作和加法操作。
Signed Multiplication
如果是有符号数如何处理呢？一个直接的方式是先处理 31 比特，然后根据乘法规则，如果两个操作数符号不同，修改成符号位。
其实上述算法可以处理有符号数，因为正在处理的可以有无数个数字，而这里仅仅使用 32 比特表示罢了。当移动乘积的时候，填充符号位即可，当乘法结束的时候，低 32 比特就是结果。
Faster Multiplication
摩尔定律使得我们可以有更多的资源可以用，那么可以构建更快的乘法硬件。乘数的 32 比特就确定了被乘数是否要被加到乘积上。对于每一个比特都提供一个 32 比特加法器：一个操作数是被乘数与上乘数对应比特位，另一个操作数是先前的加法器的结果。
一个直观的方式是右边的加法器的输出连接到左边加法器的输入，得到一叠 64 位加法器。或者如下图所示放这些加法器，并行的执行，这样只需要 次加法的时间就能完成。
流水线思想可以是乘法同时执行，那么速递比六倍加法速度更快。
Multiply in RISC-V
为了得到合适的 64 比特无符号数或者有符号数，RISC-V 提供了四种乘法指令：乘法 mul（multiply），有符号乘法高位 mulh（multiply high），无符号乘法高位 mulhu（multiply high unsigned），一个数有符号一个无符号乘法高位 mulhsu（multiply high signed-unsigned）。
获取高位可以检查 32 比特乘法是否溢出。对于无符号乘法，高 32 比特，即 mulhu 的结果为零表示没有溢出；对于有符号乘法，mulh 的比特都是 mul 的符号位，那么没有溢出。