060 矩和质心 Moments and Centers of Mass

直线上的质量

如下图所示。三个质量 $m_1,m_2,m_3$ 的物体在一条直线上。支点位于原点。

力矩是 $$m_kgx_k$$ 一般地，力矩逆时针为正，顺时针为负。系统力矩是 $$m_1gx_1+m_2gx_2+m_3gx_3$$ 将 $g$ 去掉 $m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3$ 称为系统的矩。 $$M_0=\sum m_kx_k$$ 通常，存在一个点 $\bar{x}$ 使得系统的矩为零。

关于 $\bar{x}$ 的系统的力矩是 $$\sum(x_k-\bar{x})m_kg$$ 现在求 $\bar{x}$ $$\begin{aligned} \sum(x_k-\bar{x})m_kg&=0\\ \bar{x}&=\frac{\sum m_kx_k}{\sum m_k} \end{aligned}$$ 点 $\bar{x}$ 称为质心。

细线

如果一条细线不均匀。

其中很短的一段长度 $\Delta x$，质量是 $\Delta m$，线密度是 $$\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta m}{\Delta x}$$ 这里就不再给出具体推导。质量、矩和质心分别是 $$M=\int_a^b\delta(x)dx$$ $$M_0=\int_a^bx\delta(x)dx$$ $$\bar{x}=\frac{M_0}{M}=\frac{\int_a^bx\delta(x)dx}{\int_a^b\delta(x)dx}$$

例1 求一段线密度为 $\delta(x)=2+3x^2$ 从 $x=1$ 到 $x=2$ 的细线的质心。
解：质量是 $$M=\int_1^2(2+3x^2)dx=\bigg[2x+x^3\bigg]_1^2=9$$ 矩是 $$M_0=\int_1^2x(2+3x^2)dx=\bigg[x^2+\frac{3x^4}{4}\bigg]_1^2=\frac{57}{4}$$ 所以质心是 $$\bar{x}=\frac{M_0}{M}=\frac{57}{4\cdot 9}=\frac{19}{12}$$

平面上的质量分布

如下图所示，点 $(x_k,y_k)$ 处的质量是 $m_k$，那么系统质量是 $$M=\sum m_k$$
每一个质量 $m_k$ 关于每个轴有对应的矩。关于 $x$ 轴是 $m_ky_k$，关于 $y$ 轴是 $m_kx_k$，那么系统的矩是 $$M_x=\sum m_ky_k$$ $$M_y=\sum m_kx_k$$ 系统质心的 $x$ 坐标是 $$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum m_kx_k}{\sum m_k}$$ 系统关于 $x=\bar{x}$ 平衡。如下图所示。

同样地，系统质心的 $y$ 坐标是 $$\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum m_ky_k}{\sum m_k}$$ 系统关于 $y=\bar{y}$ 平衡。质量力矩左右抵消，仿佛质量集中于点 $(\bar{x}, \bar{y})$，这就是系统的质心。

薄的平板

如下图所示，我们把平板分割成若干条带子。带子的质心位于 $(\tilde{x},\tilde{y})$，即带子的质量 $\Delta m$ 都集中于 $(\tilde{x},\tilde{y})$。

关于 $y$ 轴的矩是 $\tilde{x}\Delta m$，关于 $x$ 轴的矩是 $\tilde{y}\Delta m$。所以质心位于 $$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum \tilde{x}\Delta m}{\sum \Delta m}$$ $$\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum \tilde{y}\Delta m}{\sum \Delta m}$$ 随着带子的宽度越来越小，黎曼和的极限就是定积分。所以 $$\begin{aligned} M_x&=\int\tilde{y}dm\\ M_y&=\int\tilde{x}dm\\ M&=\int dm\\ \bar{x}&=\frac{M_x}{M},\bar{y}\frac{M_y}{M} \end{aligned}$$

微分 $dm$ 是这些带子的质量，比如平面密度 $\delta$ 是常数或者是 $x$ 的连续函数，那么 $dm=\delta dA$，其中 $dA$ 是带子的面积。

例2 如下图所示，三角形的平面密度是常量 $\delta = 3 g/cm^2$，求
（a）关于 $y$ 轴的矩 $M_y$
（b）平面质量 $M$
（c）质心的 $x$ 坐标

解：方法一，垂直划分带子。

（a）每条带子的质心是 $$(\tilde{x},\tilde{y})=(x,x)$$ 长度是 $$2x$$ 宽度是 $$dx$$ 面积是 $$dA=2xdx$$ 质量是 $$dm=\delta dA=3\cdot 2xdx=6x$$ 带子关于 $y$ 轴的矩是 $$\tilde{x}dm=x(6xdx)=6x^2dx$$ 积分 $$M_y=\int\tilde{x}dm=\int_0^16x^2dx=2x^3\bigg|_0^1=2g\cdot cm$$ （b）质量是 $$M=\int dm=\int_0^1 6xdx=3x^2\bigg|_0^1=3g$$ （c）质心的 $x$ 坐标是 $$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{2}{3}cm$$ 方法二，水平划分带子。

（a）带子在 $y$ 轴上的质心是 $$\tilde{y}=y$$ 带子在 $x$ 轴的左边界是 $y/2$，有边界是 $1$，所以 $$\tilde{x}=\frac{1+\frac{y}{2}}{2}=\frac{y+2}{4}$$ 如图带子的长度是 $$1-\frac{y}{2}=\frac{2-y}{2}$$ 宽度是 $$dy$$ 面积是 $$dA=\frac{2-y}{2}dy$$ 质量是 $$dm=\delta dA=3\cdot\frac{2-y}{2}dy$$ 那么带子关于 $y$ 的矩是 $$\tilde{x}dm=\frac{y+2}{4}\cdot 3\cdot\frac{2-y}{2}dy=\frac{3}{8}(4-y^2)dy$$ 求积分 $$M_y=\int\tilde{x}dm=\int_0^2\frac{3}{8}(4-y^2)dy=\frac{3}{8}\bigg[4y-\frac{y^3}{3}\bigg]_0^2\frac{3}{8}\frac{16}{3}=2g\cdot cm$$ （b）平面质量是 $$M=\int dm=\int_0^2\frac{3}{2}(2-y)dy=\frac{3}{2}\bigg[2y-\frac{y^2}{2}\bigg]_0^2=3g$$ （c）质心的 $x$ 坐标是 $$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{2}{3}cm$$

如果质量分布关于某个轴对称，那么质心在这条轴上。如果关于两条轴对称，那么质心的两条轴的交点处。这可以用于简化计算。

例3 如下图所示。平面是由 $x$ 轴和 $y=4-x^2$ 围成的。平面密度 $\delta=2x^2$。求质心。

解：平面和密度分布关于 $y$ 轴对称，所以 $\bar{x}=0$。垂直划分。所以带子的质心是 $$(\tilde{x},\tilde{y})=(x,\frac{4-x^2}{2})$$ 长度是 $$4-x^2$$ 宽度是 $$dx$$ 面积是 $$dA=(4-x^2)dx$$ 质量是 $$dm=\delta dA=2x^2(4-x^2)dx$$ 关于 $x$ 轴的矩是 $$\tilde{y}dm=2x^2(4-x^2)\frac{4-x^2}{dx}=x^2(4-x^2)^2dx$$ 积分 $$\begin{aligned} M_x&=\int\tilde{y}dm\\ &=\int_{-2}^2x^2(4-x^2)^2dx\\ &=\int_{-2}^2(16x^2-16x^4+x^6)dx\\ &=\frac{2048}{105} \end{aligned}$$ 质量是 $$\begin{aligned} M&=\int dm\\ &=\int_{-2}^22x^2(4-x^2)dx\\ &=\int_{-2}^2(8x^2-2x^4)dx\\ &=\frac{256}{15} \end{aligned}$$ 质心的 $y$ 坐标是 $$\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{2048}{105}\frac{15}{256}=\frac{8}{7}$$

两条曲线围成的平板

假设一个区域由 $a\leq x\leq b$、$y=g(x),y=f(x)$ 围成，其中 $f(x)\leq g(x)$。如下图所示。

垂直划分的带子的重心是 $$(\tilde{x},\tilde{y})=(x,\frac{1}{2}[f(x)+g(x)])$$ 长度是 $$f(x)-g(x)$$ 宽度是 $$dx$$ 面积是 $$dA=[f(x)-g(x)]dx$$ 质量是 $$dm=\delta dA=\delta[f(x)-g(x)]dx$$ 平板关于 $y$ 轴的矩是 $$M_y=\int xdm=\int_a^b x\delta[f(x)-g(x)]dx$$ 关于 $x$ 轴的矩是 $$\begin{aligned} M_x&=\int ydm\\ &=\int_a^b\frac{1}{2}[f(x)+g(x)]\cdot\delta[f(x)-g(x)]dx\\ &=\int_a^b\frac{\delta}{2}[f^2(x)-g^2(x)]dx \end{aligned}$$ 所以质心的坐标是 $$\bar{x}=\frac{1}{M}\int_a^b x\delta[f(x)-g(x)]dx$$ $$\bar{y}=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{\delta}{2}[f^2(x)-g^2(x)]dx$$

例4 求由曲线 $g(x)=x/2,f(x)=\sqrt{x},0\leq x\leq 1$ 围成的平板（如下图所示）的质心，平面密度 $\delta(x)=x^2$。

解：首先计算质量。$dm=\delta[f(x)-g(x)]$，积分 $$\begin{aligned} M&=\int_0^1x^2(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx\\ &=\int_0^1(x^{5/2}-\frac{x^3}{2})dx\\ &=\bigg[\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{x^4}{8}\bigg]_0^1\\ &=\frac{9}{56} \end{aligned}$$ 那么 $$\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{56}{9}\int_0^1x^2\cdot x(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx\\ &=\frac{5}{9}\int_0^1(x^{7/2}-\frac{x^4}{2})dx\\ &=\frac{56}{9}\bigg[\frac{2}{9}x^{9/2}-\frac{x^5}{10}\bigg]\\ &=\frac{308}{405} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \bar{y}&=\frac{56}{9}\int_0^1\frac{x^2}{2}(x-\frac{x^2}{4})dx\\ &=\frac{28}{9}\int_0^1(x^3-\frac{x^4}{4})dx\\ &=\frac{28}{9}\bigg[\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{20}\bigg]\\ &=\frac{28}{45} \end{aligned}$$

形心

例4 的重心不在其几何中心上，原因是密度分布不均匀。当密度是常量时，重心 $(\bar{x},\bar{y})$ 就是几何中心，也称为形心（centroid）。通常，我们令 $\delta$ 为零计算形心。

例5 半径为 $a$ 的半圆，线密度为常量 $\delta$，求质心（形心）。
解：半圆的函数是 $y=\sqrt{a^2-x^2}$。如下图所示。质量分布关于 $y$ 轴对称，所以 $\bar{x}=0$。为了求 $\bar{y}$，我们把图像切割成若干个小的弧线。令角 $\theta$ 对应的一小段弧的重心是 $(\tilde{x},\tilde{y})$，那么 $\tilde{y}=a\sin\theta$。一小段弧对应的角度是 $d\theta$，那么弧长是 $ds=ad\theta$。

质量是 $$dm=\delta ds=\delta ad\theta$$ 因此 $$\begin{aligned} \bar{y}&=\frac{\int\tilde{y}dm}{\int dm}\\ &=\frac{\int_0^\pi a\sin\theta\delta ad\theta}{\int_0^\pi \delta ad\theta}\\ &=\frac{\delta a^2\cdot -\cos\theta\bigg|_0^\pi}{\delta a\pi}\\ &=\frac{2}{\pi}a \end{aligned}$$ 那么重心在 $(0,\frac{2}{\pi}a)$，大约在原点向上三分之二处。如下图所示。上面的推导过程中，分子分母上的 $\delta$ 抵消了，所以我们可以令 $\delta=1$ 来解决 $\bar{y}$。

流体力学与形心

如下图所示。如果我们知道一个平板的形心，那么有简便方法计算平板某一面在液体中的压力。结合上一节中的压力公式和关于 $x$ 轴的矩的定义，我们有 $$\begin{aligned} F&=\int_a^bwh_yL(y)dy\\ &=w\int_a^bh_yL(y)dy \end{aligned}$$
上式积分式子就等价于平板关于液体平面的矩，即面积乘以形心深度。所以一个面积为 $A$ 的平板垂直浸入在密度 $w$ 的液体中，形心距离表面 $\bar{h}$，那么平板一个面受到的力 $$F=w\bar{h}A$$

例6 上一个节中的例6，一个等腰三角形底长 2m，高 1m，浸入水中，底平行于水面向上，距离水面 0.6m，三角形顶点在原点。求压力。
解：等腰直角三角形的形心在距离底三分之一处，那么形心坐标 $y=\frac{2}{3}$，那么 $\bar{h}=\frac{1}{3}+\frac{3}{5}=\frac{14}{15}$。面积 $$A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$$ 所以 $$F=w\bar{h}A=9800\cdot\frac{14}{15}\cdot 1=9147N$$

帕普斯定理

四世纪的古希腊人帕普斯（Pappus）发现两条定理，将形心与旋转体的体积和表面积联系了起来，可以容易的计算体积和表面积。

定理1 - 帕普斯体积定理
如果一个区域绕着某个不相交的轴旋转，其体积等于区域的面积乘以形心旋转走过的距离。如果用 $\rho$ 表示形心距离旋转轴的距离，那么 $$V=2\pi\rho A$$

证明：如下图所示，区域 $R$ 绕着 $x$ 轴旋转。

令 $L(y)$ 是水平带子的长度，假设其连续。我们使用圆柱壳法求体积。 $$V=\int_c^d2\pi yL(y)dy$$ $R$ 的形心的纵坐标是 $$\bar{y}=\frac{\int_c^d\tilde{y}dA}{A}=\frac{\int_c^dyL(y)dy}{A}$$ 所以 $$V=2\pi\bar{y}A$$ 将 $\bar{y}$ 换成 $\rho$ 即为前面的公式。

例7 半径为 $a$ 的圆，绕着距离圆心 $b\geq a$ 的轴旋转。求体积。

解：应用帕普斯定理。面积 $A=\pi a^2$，圆心就是圆的形心，所以 $\rho=b$，所以 $$V=2\pi(b)A=2\pi^2ba^2$$

下一个例子说明如何利用这个定理求形心，前提是其面积和体积很容易得到。

例8 求半径为 $a$ 的半圆的形心。

解：如上图所示。半圆函数是 $y=\sqrt{a^2-x^2}$，绕着 $x$ 轴旋转得到了一个球体。由于半圆关于 $y$ 轴对称，所以形心的 $\bar{x}=0$。利用帕普斯定理求 $\bar{y}$。 $$\bar{y}=\frac{V}{2\pi A}=\frac{4/3 \pi a^3}{2\pi\cdot (1/2)\pi a^2}=\frac{4}{3\pi}a$$

定理2 - 帕普斯表面积定理
一曲线长 $L$，绕与曲线不相交的轴旋转得到一个图形，其表面积等于曲线长乘以形心旋转走过的距离。 $$S=2\pi\rho L$$

证明：如下图所示。曲线横坐标从 $x=a$ 到 $x=b$。

通过积分计算表面积 $$S=\int_a^b 2\pi yds=2\pi\int_a^byds$$ 曲线的形心的纵坐标是 $$\bar{y}=\frac{\int_a^byds}{\int_a^bds}=\frac{\int_a^byds}{L}$$ 所以 $$S=2\pi\bar{y}L$$

例9 求例7 中甜甜圈的表面积。
解：周长 $L=2\pi a$，形心到轴的距离 $\rho=b$，所以 $$S=2\pi\cdot b\cdot 2\pi a=4\pi^2 ab$$