01 NOTATION

第一章出现了表达式$1+2+3+\cdots+(n-1)+n$表示对前$n$个整数求和，它包含了完整计算包含的项的确切模式。但是对于$1+7+\cdots+41.7$这个表达式，如果没有上下文，单独这个式子没啥意义的。第一个式子的$3, (n-1)$也略微啰嗦了，直接写成$1+2+\cdots+n$也是很清晰的，甚至有时可以直接写成$1+\cdots+n$即可。

我们将研究一般形式 $$a_1+a_2+\cdots+a_n\tag{2.1}$$ 和的每一个元素$a_k$称为项（term）。有的时候，我们需要展开写才能表现我们原始的意义，比如 $$1+2+\cdots+2^{n-1}$$ 如果是$n$项求和而不是$2^{n-1}$项，那么需要写的更清楚一些 $$2^0+2^1+\cdots+2^{n-1}$$ 符号$\cdots$有多种用途，不过它可能会含糊不清，或者写的非常冗长。下面引入去定性边界的表达式 $$\sum_{k=0}^na_k\tag{2.2}$$ 这个符号告诉我们对$k$从下界$1$到上届$n$之间的整数对应的项$a_k$求和。$a_k$是被加数（summand）。
指标变量$k$和$\sum$密切相关，因为$a_k$中的$k$和$\sum$之外的$k$都无关。任何字母都可以都可以替代$(2.2)$中的$k$。常用字母是$i$，表示指标、或者下标（index），这里还是用$k$，因为$i$有个重要用途是表示$\sqrt{-1}$。

一种推广的形式比确定性的形式更有用。直接把一个条件或者多个条件写到$\sum$下面，以此指定求和所采取的指标集。比如前面的和式可以写作 $$\sum_{1\leq k\leq n}a_k\tag{2.3}$$ 在这个特殊例子里面没有区别。不过一般形式允许我们对不连续的整数的指标求和。比如对100以内的奇数求平方和 $$\sum_{1\leq k<100,\atop k \text{ odd}}k^2$$ 而等价的确定性形式的等价形式是 $$\sum_{k =0}^{49} (2k+1)^2$$ 明显更繁杂，且不清晰。类似地，1到$N$之间的所有倒数的素数和 $$\sum_{p\leq N\atop p \text{ prime}}\frac{1}{p}$$ 而确定性形式写作 $$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$$ 其中$p_k$是第$k$个素数，$\pi(N)$是小于等于$N$的素数个数。
这个求和表达式近似的给出了接近$N$的随机整数的平均素数因子的个数，因为大约$1/p$个能被$p$整数。对于很大$N$，近似值是$\ln \ln N+M$，其中 $$M\approx 0.261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 859 051 566 6$$ 称为Mertens常数。
一般形式比确定形式更容易处理，这是最大的优势。比如把指标变量从$k$改成$k+1$，一般形式的写法 $$\sum_{1\leq k\leq n}a_k=\sum_{1\leq k+1\leq n}a_{k+1}$$ 很容易看出变化，基本无需思考。但是确定性的形式是 $$\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}$$ 这样看起来显然不太方便。
确定性形式的优势是简洁、优雅。所以如果是展示结果或者是描述问题的时候使用确定性形式的求和表达式，要处理指标变量的话，使用扩展的一般形式。
形式上 $$\sum_{P(k)}a_k\tag{2.4}$$ 是所有项$a_k$的缩写，其中$k$是所有满足$P(k)$性质的整数。暂时假定仅有有限多个满足$P(k)$的整数$k$使得$a_k\neq 0$，反之无限多个非零相加是一个更复杂的问题。另一个极端情况，对于所有整数$k$，$P(k)$都不为真，是一个空的和，任何空的和的值都是零。
人们常常想要 $$\sum_{k=2}^{n-1}k(k-1)(n-k)$$ 而不是 $$\sum_{k=0}^{n}k(k-1)(n-k)$$ 因为当$k=0,1,n$时，被加项是零，将$n-2$项相加而不是$n+1$项相加更有效率。但是不应该这么想，因为计算的有效性并不等于理解的有效性。保持求和的上限和下限简单，这样处理起来更加单，增加值为零的项不会带来问题反而免去不少麻烦。另外，$\sum_{k=2}^{n-1}$这样的式子会稍微带来含糊不清的风险，因为$n=0,1$时的含义是不清晰。

到目前为止，我们都使用的标准记号。现在引入肯尼斯·艾佛森在设计APL编程语言时用到的一种记号，能够简化很多事情。核心思想是把命题放到中括号里面，其结果为1或者0。比如 $$[p \text{ prime}]\begin{cases} 1,&&p \text{ is a prime number}\\ 0,&&p \text{ is not a prime bumber} \end{cases}$$ 不管求和指标是怎样的，用这种形式都能不加限制的写出求和表达式。比如$(2.4)$可以写作 $$\sum_k a_k[P(k)]\tag{2.5}$$ 如果$P(k)$为假，那么$a_k[P(k)]$等于零，所以包含到求和之中是安全的。因为不受边界条件的干扰，所以可以容易的对求和指标做处理。
$a_k$并非对所有的$k$都有定义。当$P(k)$为假时，$[P(k)]$必定是零，那么$a_k[P(k)]$也是零。如果对于没有定义的情况，我们也认为$a_k$是零来回避这个问题。比如用艾佛森标记重写$\leq N$的素数的倒数和 $$\sum_p [p \text{ prime}][p\leq N]/p$$ 对于$p=0$会有除数不能为零的限制，那么上述的约定就告诉我们$[0 \text{ prime}][0\leq N]/0=0$。

$\cdots$方式的好处是直观，告诉我们相邻项的组合方式，整个和式展开在我们面前，可能可以直接处理，想出简化模式，但是太多细节在某些场景下会让人手足无措。$\sum$紧凑简单，能给出$\cdots$所没有的信息。当我们处理$\sum$符号时，值为零的项一般不会带来问题，常常还能使处理更简单。