030 三角函数 Trigonometric Functions

角

角可以用度（degree）或者弧度（radian）表示。如下图所示，在半径为$r$的圆心角$A'CB'$对应的弧度是圆心角所对的弧$s$的长度比半径的长度$r$。用$\theta$表示圆心角，那么$\theta=s/r$或 $$s=r\theta\tag{1}$$
对于半径$r=1$的单位圆来说，用弧度表示角$\theta$的话，其值就是对应的弧长。一个圆周对应于$360^\circ$或弧度$2\pi$，所以 $$\pi \text{radians}=180^\circ\tag{2}$$ $$1 \text{ radian}=\frac{180}{\pi}(\approx 57.3)\text{ degrees}$$ $$1 \text{ degree}=\frac{\pi}{180}(\approx 0.017)\text{ radians}$$ 下表展示了一些基本角度的对应关系：

Degrees	$-180$	$-135$	$-90$	$-45$	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$120$	$135$	$150$	$180$	$270$	$360$
U (radians)	$-\pi$	$\frac{-3\pi}{4}$	$\frac{-\pi}{2}$	$\frac{-\pi}{4}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

如果一个角的顶点位于坐标系原点并且起始边和$x$轴重合，那么我们称这个角在标准位置（standard position）。从$x$轴逆时针的角度为正，顺时针为负。如下图所示：

逆时针的角度的大小可以任意大，远超$2\pi$，类似的，顺时针的角度也可以任意大。如下图所示：

本书后面默认使用弧度表示，除非特别说明。当我们提及$\pi/3$的时候，指的是角度弧度是$\pi/3$（也就是$60^\circ$）而不是$\pi/3 ^\circ$。

六种基本的三角函数

锐角的三角函数定义如下图所示：

我们把角放到坐标系的标准位置，可以扩展三角函数的定义到钝角和负角。我们用角的终止边和圆的交点$P(x,y)$来定义三角函数 $$\begin{aligned} \text{sine}&&\sin\theta=\frac{y}{r}&&\text{cosecant}&&\csc\theta=\frac{r}{y}\\ \text{cosine}&&\cos\theta=\frac{x}{r}&&\text{secant}&&\sec\theta=\frac{r}{x}\\ \text{tangent}&&\tan\theta=\frac{y}{x}&&\text{cotangent}&&\cot\theta=\frac{x}{y} \end{aligned}$$
这个扩展定义和锐角中的定义是一致的。
当商有意义的前提下，有如下相等关系：
$$\begin{aligned} \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\ \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}\\ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}\\ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta} \end{aligned}$$ $\tan\theta,\sec\theta$在$x=\cos\theta=0$的时候无定义，也就是定义域不包括$\theta=\pm\pi/2,\pm 3\pi/2\cdots$，同样的，$y=0$时$\cot\theta,\csc\theta$无定义，即$\theta=0,\pm\pi,\pm 2\pi\cdots$。
根据下图我们可以得到一些常见的三角函数值 $$\begin{aligned} &\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}&&\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}&&\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}&&\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}&&\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\\ &\tan\frac{\pi}{4}=1&&\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}&&\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} \end{aligned}$$
ASTC（如下图所示）可以帮助记忆基本三角函数是正还是负。

比如从下图的三角形，可以得到 $$\begin{aligned} \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\\ \tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3} \end{aligned}$$
类似的方法可以得到下表：

Degrees	$-180$	$-135$	$-90$	$-45$	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$120$	$135$	$150$	$180$	$270$	$360$
U (radians)	$-\pi$	$\frac{-3\pi}{4}$	$\frac{-\pi}{2}$	$\frac{-\pi}{4}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$
$\cos\theta$	$-1$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$0$	$1$
$\tan\theta$	$0$	$1$		$-1$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$		$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$0$		$0$

三角函数的周期和图像

当角度为$\theta$的角和角度为$\theta+2\pi$的角都放到标准位置的时候，终止边恰好重合。因此这两个角的三角函数值是相同的：$\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,\tan(\theta+2\pi)=\tan\theta$等等。类似的$\sin(\theta-2\pi)=\sin\theta,\cos(\theta-2\pi)=\cos\theta$等等。我们称这六种基本三角函数是周期函数。

定义 如果函数$f(x)$对于任意$x$都有一个正整数$p$使得$f(x+p)=f(x)$，那么函数是周期函数。这个最小的$p$称为函数$f$的周期（period）。

当我们画三角函数的时候，往往使用$x$代替$\theta$。下图是六种三角函数的图像。正切函数和余切函数的周期是$\pi$，其他四种函数周期是$2\pi$。余弦函数和正割函数是偶函数，其余四种是奇函数。

三角恒等变换

平面上的任意点$P(x,y)$能够用该点到原点的距离$r$和$OP$与$x$正半轴的夹角$\theta$来表示。如下图所示。因为$x/r=\cos\theta,y/r=\sin\theta$，可以得到 $$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$
当$r=1$时，应用毕达哥拉斯定理可以得到 $$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\tag{3}$$ 对于所有的$\theta$，这个方程都成立，并且是三角函数最常用的恒等式。上式两边同除$\cos^2\theta,\sin^2\theta$得到 $$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$ $$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$$ 下面两个公式也是对所有的 $A,B$ 都成立（和） $$\begin{aligned} \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\\ \sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B \end{aligned}\tag{4}$$ 对于差 $\cos(A-B),\sin(A-B)$ 有类似的公式。可以利用三角函数的奇偶性将上式的 $B$ 换成 $-B$ 得到差的公式。 $$\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$$ $$\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$$ 本书所有的三角恒等变换都能从公式 $(3)(4)$ 推导出来。比如用 $\theta$ 替换 $A,B$ 可以得到倍角公式 $$\begin{aligned} \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\ \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}\tag{5}$$ 将下面两个等式 $$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1,\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta$$ 相加得到 $$2\cos^2\theta=1+\cos 2\theta$$ 第一个式子减去第二个式子等到 $$2\sin^2\theta=1-\cos 2\theta$$ 进而可以得到非常有用的半角公式 $$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}\tag{6}$$ $$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\tag{7}$$

余弦定理

三角形$ABC$三边长$abc$，且$\theta$对的边是$c$（也就是说$\theta$是角$C$），那么 $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\tag{8}$$ 上面的方程就是余弦定理（law of cosines）。
我们把点$C$放到原点，$x$正半轴沿着角$C$的一条边把三角形放到坐标系中。如下图所示。那么很容易得到$A(b,0),B(a\cos\theta,a\sin\theta)$，$AB$之间距离的平方就是 $$\begin{aligned} c^2&=(a\cos\theta-b)^2+(a\sin\theta)^2\\ &=a^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+b^2-2ab\cos\theta\\ &=a^2+b^2-2ab\cos\theta \end{aligned}$$
余弦定理是毕达哥拉斯定理的泛化形式。如果$\theta=\pi/2$，那么$\cos\theta=0$，得到$c^2=a^2+b^2$。

两个特殊的不等式

对于任意用弧度表示的角$\theta$，正弦和余弦函数满足 $$-|\theta|\leq\sin\theta\leq |\theta|$$ $$-|\theta|\leq 1-\cos\theta\leq |\theta|$$ 如下图我们画了一个非零的角在标准位置，圆是单位圆。那么$|\theta|$的长度就是弧$AP$的长度，小于$|\theta|$。

三角形$APQ$是直角三角形，两个直角边长度是 $$QP=|\sin\theta|,AQ=1-\cos\theta$$ 根据毕达哥拉斯定理和$AP<|\theta|$有 $$\sin^2\theta+(1-\cos\theta)^2=(AP)^2\leq\theta^2\tag{9}$$ 上面公式左边的两项都是非零项，所以 $$\sin^2\theta\leq\theta^2, (1-\cos\theta)^2\leq\theta^2$$ 取平方根，得到不等式 $$|\sin\theta|\leq|\theta|, |1-\cos\theta|\leq|\theta|$$ 所以 $$-|\theta|\leq\sin\theta\leq |\theta|,-|\theta|\leq 1-\cos\theta\leq |\theta|$$ 这两个公式在下一章会非常有用。

三角函数图像变换

下图是函数图像的平移、伸缩、翻转等规则的描述，同样适用于三角函数。

应用这些变换规则可以得到一般地正弦函数 $$f(x)=A\sin(\frac{2\pi}{B}(x-C))+D$$ 其中$|A|$是振幅（amplitude），$|B|$是周期（period），$C$是水平偏移（horizontal shift），$D$是垂直偏移（vertical shift）。图像如下所示：

习题

习题中有两个是很常见且很有用的公式和定理。

1. 两个角的正切值公式如下： $$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$ 证明： $$\begin{aligned} \tan(A+B)&=\frac{\cos(A+B)}{\sin(A+B)}\\ &=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}\\ &=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \end{aligned}$$

2. 正弦定理 三角形 $ABC$ 对应边分别是 $a,b,c$，那么 $$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$$ 证明：$ABC$ 三者是平等的，所以下面证明等式的后半部分，前半部分同理可得。

角$C$可能是锐角、钝角和直角。
直角最简单，此时$\sin C=1,\sin B=\frac{b}{c}$，得证。
锐角和钝角的情况如下图所示：

锐角情况 $$h=c\sin B=b\sin C$$ 钝角情况 $$h=c\sin B=b\sin(\pi-C)=b\sin C$$ $\sin(\pi-C)=\sin C$很容易通过两角之和公式证明。