010 变化率和曲线的切线 Rates of Change and Tangent Lines to Curves

平均速度和瞬时速度

十六世纪，伽利略发现物体下落的距离和时间的平方成正比，被称为自由落地（free fall）定律。它忽略空气阻力，只有重力是唯一做功的力。如果用$y$表示$t$秒物体下落的距离，那么伽利略定律表示为 $$y=4.9t^2$$ 这里4.9是一个近似常数。
更一般地，一个移动的物体在时间$t$是移动的距离是$f(t)$。在时间段$[t_1,t_2]$物体的平均速度（average speed）定义为移动的距离$f(t_2)-f(t_1)$除以$t_2-t_1$。单位可以是千米每小时或者米每秒。
例1 一个石头从斜塔上下落，求下面时间段的平均速度
（a）前两秒
（b）第一秒到第二秒这一秒
解：用$\Delta y$表示一段时间物体移动的距离，$\Delta t$表示这段时间的长度。这个问题距离单位是米，时间单位是秒。
（a） $$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{4.9(2)^2-4.9(0)^2}{2-0}=9.8 \text{ } m/s$$ （b） $$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{4.9(2)^2-4.9(1)^2}{2-1}=14.7 \text{ } m/s$$ 我们想要找到一种计算$t_0$时物体瞬时速度的方法。我们考虑计算从$t_0$时开始区间段的平均速度，然后使得区间越来越短。下一个例子就解释了这一点。正式讨论会在第三章。
例2 求例1中$t=1,t=2$时物体的速度。
解：我们可以计算在区间$[t_0,t_0+h]$上的平均速度，那么$\Delta t=h$，因此有 $$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{4.9(t_0+h)^2-4.9(t_0)^2}{h}\tag{1}$$ 我们不能用这个公式来计算瞬时速度，因为$h$不能为零。我们可以计算从$t_0=1,t_2$开始的很小的时间段的平均速度。很简单，减少$h$即可。 | $h$ | $t_0=1$ | $t_0=2$ | |--|--|--| | 1 | 14.7 | 24.5 | | 0.1 | 10.29 | 20.09 | | 0.01 | 9.849 | 19.649 | | 0.001 | 9.8049 | 19.6049 | | 0.0001 | 9.80049 | 19.60049 |

随着区间的减小，$t_0=1$开始的区间的平均速度的极限很可能是 9.8，那么这暗示着$t_0=1$的瞬时速度是 $9.8 \text{ } m/s$。下面通过代数运算来说明这一点。
将$t_0=1$代入公式$(1)$可以得到 $$\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta t}&=\frac{4.9(1+h)^2-4.9(1)^2}{h}\\ &=\frac{4.9(1+2h+h^2)-4.9}{h}\\ &=9.8+4.9h \end{aligned}$$ $h$从0开始，当$h$趋于0的时候，平均速度的极限值是$9.8+4.9(0)=9.8 \text{ } m/s$。
将$t_0=2$代入公式$(1)$可以得到 $$\frac{\Delta y}{\Delta t}=19.6+4.9h$$ 随着$h$越来越趋于0，$t_0=2$的平均速度的极限值是19.6 m/s，这和上面的表格一致。
自由落体的平均速度是更一般的情况——平均变化率——的具体例子。

平均变化率和割线

给定函数$y=f(x)$，$x$变化区间是$[x_1,x_2]$，对应$y$的变化是$\Delta y=f(x_2)-f(x_1)$，那么平均变化了是$\Delta y$除以$\Delta x=x_2-x_1=h$。后面使用$h$简化$x$的变化$\Delta x$。

平均变化率 在$[x_1,x_2]$上$y=f(x)$的平均变化率（average rate of change）是 $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h},h\neq 0$$

从几何角度看，平均变化率是通过点$P(x_1,f(x_1)),Q(x_2,f(x_2))$的直线的斜率。如下图所示。几何学中，和曲线有两个交点的直线称为割线（secant line）。

因此，区间$[x_1,x_2]$上的平均变化率是割线$PQ$的斜率。随着点$Q$沿着曲线接近$P$，$h$越来越接近0。我们将会看到这就是曲线在某点处斜率的定义。

定义曲线的斜率

直线的斜率表示线性函数的变化率。曲线上点$P$的斜率是什么意思呢？就像圆的切线一样，曲线在点$P$处也有一条切线，它的斜率就是曲线在点$P$的斜率。我们还会看到，这个直线是在该点处的最佳近似。我们现在需要一个方法来得到曲线在某一点处的切线。
圆的切线是非常直观的。圆上点$P$的切线$L$就是通过点$P$且垂直于经过$P$的半径$OP$。如下图所示。曲线上点$P$的切线$L$表示什么呢？

为了定义相切，我们用移动割线$PQ$的点$Q$使之移向$P$的方法来分析。如下图所示。我们可以计算割线$PQ$的斜率，随着$Q$接近$P$，可以计算$PQ$斜率的极限（下一小节讨论极限）。如果极限存在，这个极限值就是曲线在$P$点处的斜率，切线就是通过点$P$且斜率为曲线在$P$点处的斜率的直线。

例3 通过分析通过点$(2,4)$的割线的斜率求$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线的斜率，写出切线方程。
解：割线一点是$P(2,4)$，另一点是$Q(2+h,(2+h)^2)$。所以斜率为 $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\frac{h^2+4h}{h}=h+4$$ $h>0$，那么$Q$在$P$的右侧（如下图所示）。$h<0$时，$Q$在$P$的左侧。不管那种情况，随着$Q$接近$P$，$h$趋于0，那么斜率趋于4，所以曲线在$P$的斜率是4。

切线方程是 $$y=4+4(x-2)=4x-4$$

变化率和切线

例2说明自由落地在$t=1,t=2$时的瞬时变化率，和切线的斜率紧密相关。
例4 下图时果蝇在50天实验中每天果蝇的数量$p$。每次都隔相同的时间计数，同时各点用光滑曲线连接。求23天到50天的平均变化率。

解：如图，23天时有150只果蝇，50天时有340只，所以平均变化率是 $$\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{340-150}{50-22}=\frac{190}{22}\approx 8.6 \text{ flies/day}$$ 平均变化率是割线$PQ$的斜率。
上面这个例子并没有说明23天的增长速率。我们需要缩短区间。
例5 基于例4，求第23天果蝇增长有多快。
解：通过缩短时间区间来计算平均变化率。几何意义是将割线的动点$Q$移向$P$，使得斜率趋于曲线在$P$处的斜率。整个过程如下图所示：

随着$t$轴上$Q$从45移动到30，割线的斜率从8.6上升到16.4，如果继续减小到23，那么斜率还会上升一点。从几何意义上，割线以$P$点为轴逆时针转动，最后达到红线处。由于红线除了点$P$外也通过点$(14,0)$，所以斜率近似于 $$\frac{350-0}{35-14}\approx 16.7 \text{ flies/day}$$ 随着区间$h$趋于0，平均变化率就会趋于瞬时变化率。平均变化率对应于割线的斜率，瞬时变化率对应于切线的斜率。我们会在第三章给出精确定义，在此之前，下一节会先讨论极限的概念。