060 链式法则 The Chain Rule
复合函数的导数
函数y=32x=12(3x)可以看作是函数y=12u,u=3x的复合函数。我们有
dydx=32,dydu=12,dudx=3
由于32=12×3,我们可以得到
dydx=dydu×dudx
如果把导数看作是变化率,那么这个关系是非常直观的。如果y=f(u)变化是u的一半,u=g(x)的变化是x变化的三倍,那么y的变化是x变化的二分之三倍。这就像多级齿轮传动一样。如下图所示:
例1 函数 y=(3x2+1)2 可以看作是y=f(u)=u2,u=g(x)=3x2+1的复合函数。模仿上面的规则计算导数得到 dydu⋅dudx=2u⋅6x=2(3x2+1)⋅6x=36x3+12x 通过展开(3x2+1)2=9x4+6x2+1也可以得到导数 dydx=ddx(9x4+6x2+1)=36x3+12x 结果是一致的。
复合函数f(g(x))的导数等于f在g(x)处的导数乘以g在x处的导数。如下图所示:
定理2 链式法则 如果f(u)在点u=g(x)处可导且g(x)在x处可导,那么复合函数f∘g=f(g(x))在x处可导,且有
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)
使用莱布尼茨表示法是
dydx=dydu⋅dudx
链式法则的一种情况的证明。
令Δu是对应x变化Δx时u的变化
Δu=g(x+Δx)−g(x)
相应的
Δy=f(u+Δu)−f(u)
如果Δu≠0,我们可以把Δy/Δx写作
ΔyΔx=ΔyΔu⋅ΔuΔx
取Δx→0的极限
dydx=lim
如果在附近振荡,那么当时,可能为零,那么之前说就不成立。3.11小节会给出另外一种证明方式来规避这个问题。
例2 一个物体沿着轴运动,任意时刻的位置是,求速度。
解:位置函数可以看作是两个函数的组合。我们有
所以
例3 求的导数。
解:应用链式法则
例4 求的导数。
解:
一般地,有
比如,
或者
重复使用链式法则
通常,我们会使用二次或者更多次链式法则。
例5 求的导数。
解:
广义幂法则:幂法则和链式法则的结合
如果是任意实数并且是幂函数,由幂法则得到。如果是的可导函数,那么应用链式法则可以得到广义幂法则
例6 使用广义幂法则的示例。
(a)
(b)
(c)
(d)
例7 3.2中的例4证明了绝对值函数在处不可导。但是这个函数在其他地方是可导的。由可以求其他值的导数。
例8 证明曲线的每个切线的斜率都是正的。
解:先对函数求导
在任意点,分子都不为零,斜率是大于零的。
例9 的导数公式单位是弧度。使用链式法则可以看出两者的区别。由于,那么,那么 如下图所示。类似的 。
由于因子会传染,且会重复多次,这也是使用弧度的有利之处。