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060 链式法则 The Chain Rule

复合函数的导数

函数y=32x=12(3x)可以看作是函数y=12u,u=3x的复合函数。我们有 dydx=32,dydu=12,dudx=3 由于32=12×3,我们可以得到 dydx=dydu×dudx 如果把导数看作是变化率,那么这个关系是非常直观的。如果y=f(u)变化是u的一半,u=g(x)的变化是x变化的三倍,那么y的变化是x变化的二分之三倍。这就像多级齿轮传动一样。如下图所示:

例1 函数 y=(3x2+1)2 可以看作是y=f(u)=u2,u=g(x)=3x2+1的复合函数。模仿上面的规则计算导数得到 dydududx=2u6x=2(3x2+1)6x=36x3+12x 通过展开(3x2+1)2=9x4+6x2+1也可以得到导数 dydx=ddx(9x4+6x2+1)=36x3+12x 结果是一致的。

复合函数f(g(x))的导数等于fg(x)处的导数乘以gx处的导数。如下图所示:

定理2 链式法则 如果f(u)在点u=g(x)处可导且g(x)x处可导,那么复合函数fg=f(g(x))x处可导,且有 (fg)(x)=f(g(x))g(x) 使用莱布尼茨表示法是 dydx=dydududx 链式法则的一种情况的证明。
Δu是对应x变化Δxu的变化 Δu=g(x+Δx)g(x) 相应的 Δy=f(u+Δu)f(u) 如果Δu0,我们可以把Δy/Δx写作 ΔyΔx=ΔyΔuΔuΔxΔx0的极限 dydx=lim 如果附近振荡,那么当时,可能为零,那么之前说就不成立。3.11小节会给出另外一种证明方式来规避这个问题。

例2 一个物体沿着轴运动,任意时刻的位置是,求速度。
解:位置函数可以看作是两个函数的组合。我们有 所以

例3 求的导数。
解:应用链式法则

例4 求的导数。
解: 一般地,有 比如, 或者

重复使用链式法则

通常,我们会使用二次或者更多次链式法则。

例5 求的导数。
解:

广义幂法则:幂法则和链式法则的结合

如果是任意实数并且是幂函数,由幂法则得到。如果的可导函数,那么应用链式法则可以得到广义幂法则

例6 使用广义幂法则的示例。
(a) (b) (c) (d)

例7 3.2中的例4证明了绝对值函数处不可导。但是这个函数在其他地方是可导的。由可以求其他值的导数。

例8 证明曲线的每个切线的斜率都是正的。
解:先对函数求导 在任意点,分子都不为零,斜率是大于零的。

例9 的导数公式单位是弧度。使用链式法则可以看出两者的区别。由于,那么,那么 如下图所示。类似的

由于因子会传染,且会重复多次,这也是使用弧度的有利之处。