080 反导数 Antiderivatives

有时，我们需要从导数中恢复原函数。给定要给函数$f$，需要找到一个函数$F$，它的导数是$f$。如果这样的$F$存在，称为$f$的反导数（antiderivative）。反导数是倒数和不定积分的纽带。

求反导数

定义 如果在区间$I$上对所有$x$都有$F'(x)=f(x)$，那么我们称$F$是$f$（其定义域是$I$）的反导数（antiderivative）。

从导函数$f(x)$得到反导数$F(x)$过程称为反导函数（antidifferentiation）。我们使用大写字母表示反导数，比如$F$是$f$的反导数，$G$是$g$的反导数。

例1 求下面函数的反导数。
（a）$f(x)=2x$
（b）$g(x)=\cos x$
（c）$h(x)=\frac{1}{x}+2e^{2x}$
解：之前我们已经学过了哪些函数的导数是上面这些函数，所以 $$F(x)=x^2,G(x)=\sin x,H(x)=\ln |x|+e^{2x}$$

函数$F(x)=x^2$并不是唯一导数是$2x$的函数。函数$x^2+1$的导数也是。那么$x^2+C$呢？其中$C$是常数。
4.2节中值定理推论2一个函数的任意两个反导数之间的差是常数。所以$x^2+C$，$C$是任意常数，是所有$f(x)=2x$的反导数函数。

定理8 如果在区间$I$上，$F$是$f$的反导数，$f$在区间$I$上的反导数一般形式是 $$F(x)+C$$ 其中$C$是任意常数。

例2 求$f(x)=3x^2$的反导数，其满足$F(1)=-1$。
解：由于$x^3$的导数是$3x^2$，那么一般地 $$F(x)=x^3+C$$ 条件$F(1)=-1$导入 $$1+C=-1$$ 所以$C=-2$，那么 $$F(x)=x^3-2$$ 如下图所示，我们选择了一个具体的$C$，也就是从一族函数中挑出了经过点$(1,-1)$的函数。

将导数规则反过来应用，可以推导出反导数的公式和规则。对于反导数我们需要加上常数$C$表示一族函数。下面给出了比较重要的反导数的公式。
这里的规则都可以通过反向计算来验证。比如$(\tan kx)/k+C$的导数是$\sec^2 kx$，其中$k\neq 0$，$C$是任意常数，这就验证了下表的公式4。

函数	反导数
$x^n$	$\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C,n\neq -1$
$\sin kx$	$-\frac{1}{k}\cos kx+C$
$\cos kx$	$\frac{1}{k}\sin kx+C$
$\sec^2 kx$	$\frac{1}{k}\tan kx+C$
$\csc^2 kx$	$-\frac{1}{k}\cot kx+C$
$\sec kx\tan kx$	$\frac{1}{k}\sec kx+C$
$\csc kx\cot kx$	$-\frac{1}{k}\csc kx+C$
$e^{kx}$	$\frac{1}{k}e^{kx}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$\frac{1}{\sqrt{1-k^2x^2}}$	$\frac{1}{k}\sin^{-1}kx+C$
$\frac{1}{1+k^2x^2}$	$\frac{1}{k}\tan^{-1}kx+C$
$\frac{1}{x\sqrt{k^2x^2-1}}$	$\sec^{-1}kx+C,kx>1$
$a^{kx}$	$(\frac{1}{k\ln a})a^{kx}+C,a>0,a\neq 1$

例3 求下面函数的一般反导数。
（a）$f(x)=x^5$
（b）$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$
（c）$h(x)=\sin 2x$
（d）$i(x)=\cos\frac{x}{2}$
（e）$j(x)=e^{-3x}$
（f）$k(x)=2^x$
解：应用上面的表中的公式。
（a）$F(x)=\frac{x^6}{6}+C$
（b）$n=-1/2, G(x)=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2\sqrt{x}+C$
（c）$H(x)=-\frac{\cos 2x}{2}+C$
（d）$I(x)=2\sin(\frac{x}{2})+C$
（e）$J(x)=-\frac{1}{3}e^{-3x}+C$
（f）$K(x)=\frac{1}{\ln 2}2^x+C$

导数的规则也可以应用到反导数上。下面是加法、减法和常数倍相关的法则。证明也很简单，对反导数求导看是否等于原函数。

	函数	反导数
常数倍	$kf(x)$	$kF(x)+C$
加法和减法	$f(x)\pm g(x)$	$F(x)\pm G(x)+C$

例4 求函数 $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+\sin 2x$$ 的反导数。
解：用例3中的函数改写得到$f(x)=3g(x)+h(x)$。我们知道$G(x)=2\sqrt{x}$是$g(x)=1/\sqrt{x}$的反导数，那么$3G(x)$的是$\frac{3}{\sqrt{x}}$的反导数，$H(x)=-\frac{\cos 2x}{x}$是$\sin 2x$的反导数。应用加法法则得到 $$F(x)=3G(x)+H(x)+C=6\sqrt{x}-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$

初值问题和微分方程

在数学及其应用中反导数扮演重要角色。第八章会讨论很多求解方法。求函数$f(x)$的反导数等价于求解函数$y(x)$满足 $$\frac{dy}{dx}=f(x)$$ 这称为微分方程（differential equation）。求解的过程就是找到$f(x)$的反导数。通过指定初始值我们可以求解常数 $$y(x_0)=y_0$$ 上式意味着当$x=x_0$时，$y=y_0$。微分方程附带一个初始条件被称为初值问题（initial value problem）。这类问题在几乎所有科学领域都扮演重要角色。
$f(x)$的一般地反导数$F(x)+C$是微分方程$dy/dx=f(x)$的通解（general solution）$y=F(x)+C$。通解是方程所有的解。通过求通解来求微分方程，接着解决初值问题来找到特解（particular solution），特解满足初始条件$y(x_0)=y_0$。在例2中，函数$y=x^3-2$是微分方程满足初始条件$y(1)=-1$的特解。

反导数和运动

对物体的位置函数求导可以得到速度，对速度求导可以得到加速度。反过来，对加速度求反导数可以得到速度，对速度求反导数可以得到位置。现在我们从微分方程的视角看这个问题。

例5 一个热气球在距离地面 24.5m 的地方丢了一个物体，此时速度是 3.6m/s。物体经过多久落到地面上？

解：令在$t$时，距离地面高度是$s(t)$，速度是$v(t)$。地球表面加速度是$9.8 m/s^2$。假设丢物体的时候没有额外的力，那么 $$\frac{dv}{dt}=-9.8$$ 初始条件是 $$v(0)=3.6$$ 首先求解微分方程得到 $$v=-9.8t+C$$ 那么 $$\begin{aligned} 3.6&=-9.8(0)+C\\ C&=3.6 \end{aligned}$$ 所以得到 $$v=-9.8t+3.6$$ 那么位置函数的导数就是 $$\frac{ds}{dt}=-9.8t+3.6$$ 初始条件是 $$s(0)=24.5$$ 解微分方程得到 $$s=-4.9t^2+3.6t+C$$ 代入初始值得到 $$C=24.5$$ 所以 $$s=-4.9t^2+3.6t+24.5$$ 问题是要求物体何时落地，即$t$等于多少时$s=0$。 $$\begin{aligned} -4.9t^2+3.6t+24.5&=0\\ t&=\frac{-3.6\pm\sqrt{493.16}}{-9.8}\\ t&\approx -1.90, 2.63 \end{aligned}$$ 所以物体会经过 2.63 秒落地（负数根没有物理意义）。

不定积分

定义 $f$所有反导数的集合被称为$f$相对于$x$的不定积分（indefinite integral）。记作 $$\int f(x)dx$$ $\int$是积分符号（integral sign），$f$是积分的被积函数（integrand），$x$是积分变量（variable of integration）。

上述定义中，被积函数后面总是跟着微分符号以表示积分变量，第五章会解释其重要性。使用这个符号，重写例1 的解 $$\int 2xdx=x^2+C$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C$$ $$\int (\frac{1}{x}+2e^{2x})dx=\ln |x|+e^{2x}+C$$ 第五章还会解释反导数所扮演的关键角色。

例6 计算 $$\int (x^2-2x+5)dx$$ 解：如果我们能看出$(x^3/3)-x^2+5x$是$x^2-2x+5$的反导数，我们可以得到积分结果 $$\int (x^2-2x+5)dx=\frac{x^3}{3}-x^2+5x+C$$ 如果不能的话，我们可以利用各种法则一项一项求 $$\begin{aligned} \int (x^2-2x+5)dx&=\int x^2dx-\int 2xdx+\int 5dx\\ &=\int x^2dx-2\int xdx+5\int 1dx\\ &=(\frac{x^3}{3}+C_1)-2(\frac{x^2}{2}+C_2)+5(x+C_3)\\ &=\frac{x^3}{3}+C_1-x^2-2C_2+5x+5C_3 \end{aligned}$$ 看似比之前的解复杂，但是可以合并常量项$C=C_1-2C_2+5C_3$就可以得到同样的结果 $$\frac{x^3}{3}-x^2+5x+C$$ 推荐一项一项积分，得到最简反导数之后，再最后加上常数项即可。

解的唯一性

如果 $F(x),G(x)$ 都是区间 $I$ 上 $$\frac{dy}{dx}=f(x),y(x_0)=y_0$$ 的解。根据上面不定积分的描述，有 $$F(x)+C_1=G(x)+C_2$$ 代入 $x=x_0$ $$F(x_0)+C_1=y_0+C_1=G(x_0)+C_1=G(x_0)+C_2$$ 所以 $$C_1=C_2$$ 那么 $$F(x)=G(x)$$