020 西格玛符号和有限和的极限 Sigma Notation and Limits of Finite Sums

有限和和西格玛符号

西格玛符号可以使用紧凑的形式表示许多项的和 $$\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n$$

例1

西格玛符号	展开形式	和
$\sum_{k=1}^5k$	$1+2+3+4+5$	$15$
$\sum_{k=1}^3(-1)^kk$	$(-1)^1(1)+(-1)^2(2)+(-1)^3(3)$	$-1+2-3=-2$
$\sum_{k=1}^2\frac{k}{k+1}$	$\frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}$	$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}$
$\sum_{k=4}^5\frac{k^2}{k-1}$	$\frac{4^2}{3}+\frac{5^2}{4}$	$\frac{16}{3}+\frac{25}{4}=\frac{12}{139}$

例2 用西格玛符号表示和式 $1+3+5+7+9$。
解：这取决于下限的选择，不过最后的结果应该是一样的。一般地，选择 $k=0,k=1$。不过可以从任何正数开始。比如 $$k=0: 1+3+5+7+9=\sum_{k=0}^4(2k+1)$$ $$k=1: 1+3+5+7+9=\sum_{k=1}^5(2k-1)$$ $$k=2: 1+3+5+7+9=\sum_{k=2}^6(2k-3)$$ $$k=-3: 1+3+5+7+9=\sum_{k=-3}^1(2k+7)$$ 当求下面和式时 $$\sum_{k=1}^3(k+k^2)$$ 可以重新排列这些项 $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^3(k+k^2)&=(1+1^2)+(2+2^2)+(3+3^2)\\ &=(1+2+3)+(1^2+2^2+3^2)\\ &=\sum_{k=1}^3k+\sum_{k=1}^3k^2 \end{aligned}$$ 一般地 $$\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k$$ 这个式子和下面额外三个法则一样，使用数学归纳法证明即可。

有限和法则： $$\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k$$ $$\sum_{k=1}^n(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^nb_k$$ $$\sum_{k=1}^nca_k=c\sum_{k=1}^na_k$$ $$\sum_{k=1}^nc=cn$$

例3 运用上述法则 $$\sum_{k=1}^n(3k-k^2)=3\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^nk^2$$ $$\sum_{k=1}^n(-a_k)=-\sum_{k=1}^na_k$$ $$\sum_{k=1}^3(k+4)=\sum_{k=1}^3k+\sum_{k=1}^34=1+2+3+4\cdot 4=18$$ $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\cdot n=1$$

人们发现了很多很重要和式的公式。其中最重要的是前 $n$ 个整数和，及其前 $n$ 个整数的平方和和立方和。

例4 证明前 $n$ 个整数和是 $$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$$ 证明：将这些项正向写一遍，逆向写一遍 $$\begin{aligned} 1&+&2&+&3&+\cdots&+&n\\ n&+&(n-1)&+&(n-2)&+\cdots&+&1 \end{aligned}$$ 每一列的两项相加是 $n+1$，总共有 $n$ 项，所以和是 $n(n+1)/2$。

前 $n$ 个整数的平方和和立方和分别是 $$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^nk^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$$ 使用数学归纳法证明这两个公式。

高德纳的《具体数学》对求和有详细讨论，有很多有趣的方法：参考这里。

有限和的极限

5.1 节告诉我们有限和估算会随着子区间变多变窄而更精确。下面这个例子求子区间无限窄无限多的时候估算的极限。

例5 使用估算法求 $y=1-x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上曲线和 $x$ 轴围成的面积的下和，求当宽度趋于零，子区间趋于无限多时的极限。
解：切分成 $n$ 个子区间，每个子区间宽度是 $\Delta x=1/n$。我们要求 $n\to\infty$ 时的值。这 $n$ 个子区间分别是 $$[0,\frac{1}{n}],[\frac{1}{n},\frac{2}{n}],\cdots,[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}]$$ 由于 $y=1-x^2$ 在 $[0,1]$ 是递减函数，所以每个区间的最小值是取右端点，那么区间 $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$ 对应的高度是 $f(k/n)=1-(k/n)^2$，那么 $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^nf(k/n)\cdot \frac{1}{n}&=\sum_{k=1}^n(1-(\frac{k}{n})^2)\frac{1}{n}\\ &=\sum_{k=1}^n(\frac{1}{n}-\frac{k^2}{n^3})\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}-\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}\\ &=n\cdot\frac{1}{n}-\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^nk^2\\ &=1-\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=1-\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} \end{aligned}$$ 这就是 $n$ 为任意值时的下和公式。当 $n\to\infty$ 时 $$\lim_{n\to\infty}(1-\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3})=1-\frac{2}{6}=\frac{2}{3}$$ 下和估算收敛于 $2/3$，同样的方式可以得到上和也收敛于 $2/3$。任意有限和 $\sum_{k=1}^nf(c_k)(1/n)$ 的值介于上和与下和之间，所以都收敛于 $2/3$。据此，我们说区域 $R$ 的面积就是这个极限值。

黎曼和

德国科学家 Bernhard Riemann 给出了有限近似极限理论的精确定义。下面介绍黎曼和（Riemann sum），它对下节介绍的定积分有深远影响。
我们从任意在 $[a,b]$ 上定义的有界函数 $f$ 开始。如下图所示。$f$ 可能是正的也可能是负的。

我们把 $[a,b]$ 区间分割成子区间，不必是等宽的，利用 5.1 节的方法可以用有限和来求近似值。为此，我们在 $[a,b]$ 区间上选取 $n-1$ 个点 $x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}$ $$a<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<b$$ 为了一致，令$a=x_0,b=x_n$，那么 $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$$ 那么这些点的集合 $$P=\{x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n\}$$ 称为区间 $[a,b]$ 上的分区（partition）。
分区 $P$ 把区间 $[a,b]$ 分成下面 $n$ 个闭区间 $$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n]$$ 第 $k$ 个子区间是 $[x_{k-1},x_k]$：

第 $k$ 个子区间是宽度是 $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$：

如果所有子区间等宽，那么记作 $\Delta x=(b-a)/n$。
我们在每个子区间选择一个点。第 $k$ 个子区间选择的点是 $c_k$。那么对应的矩形高度就是 $f(c_k)$，可正可负，也可以是零。

那么每个矩阵的面积是 $f(c_k)\cdot\Delta x$。乘积也可正可负可为零。最后，我们对这些乘积求和 $$S_P=\sum_{k=1}^nf(c_k)\Delta x_k$$ 和 $S_P$ 是 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的黎曼和。依赖于 $P$ 和 $c_k$ 的不同选择，这样的和有很多个。比如我们等宽分割成 $n$ 个子区间，那么宽度是 $\Delta x=(b-a)/n$，$c_k$ 选择是每个区间的右端点，那么这样选择对应的黎曼和是 $$S_n=\sum_{k=1}^nf(a+k\frac{b-a}{n})\cdot\frac{b-a}{n}$$ 类似地，我们可以选择左端点或者中点作为 $c_k$。
选择等宽的情况，即 $\Delta x=(b-a)/n$，$n$ 增加，宽度变窄。如果是变宽情况，所有区间中肯定有最宽的区间，该区间的宽度是分区 $P$ 的模（norm），写作 $\parallel P\parallel$。如果 $\parallel P\parallel$ 很小，那么所有区间的宽度都很小。

例6 集合 $P=\{0,0.2,0.6,1,1.5,2\}$ 是 $[0,2]$ 上的分区。有五个子区间 $[0,0.2],[0.2,0.6],[0.6,1],[1,1.5],[1.5,2]$：

每个区间的宽度分别是 $0.2,0.4,0.4,0.5,0.5$。最宽的区间宽度是 0.5，那么分区的模是 $\parallel P\parallel=0.5$。在这个例子中，有两个区间长度都是 0.5。