040 旋转体的表面积 Areas of Surfaces of Revolution

表面积定义

旋转一区间上函数围成的区域得到一个旋转体。如果只旋转函数曲线本身，得到一个曲面。我们使用上一节中定义和处理曲线的方法，这一节定义和处理曲面。
考虑一般情况之前，我们先从水平线段和倾斜的线段开始。如下图所示。我们旋转长度为 $\Delta x$ 的线段 $AB$，得到一表面积为 $2\pi y\Delta x$ 的圆柱形。展开为下图右边所示。线段 $AB$ 上一点 $(x,y)$ 绕着 $x$ 轴旋转得到一个半径为 $y$ 的圆，$2\pi y$ 就是周长。

假设线段是倾斜的而不是水平的。这样的线段 $AB$ 绕着 $x$ 轴旋转，得到圆锥体的平截头体，如下图左边所示。根据几何学可知这个平截头体的表面积是 $2\pi y^*L$，其中 $y^*=(y_1+y_2)/2$ 是线段 $AB$ 的平均高度。表面积与长宽为 $2\pi y^*, L$ 的矩形面积一样大。如下图右边所示。

现在考虑一般情况。计算非负函数 $y=f(x),a\leq x\leq b$ 的函数曲线绕着 $x$ 轴形成图形的表面积。和之前讨论一样，将区间 $[a,b]$ 切分成 $n$ 个子区间。如下图所示 $PQ$ 是其中一段弧。

$PQ$ 绕 $x$ 轴旋转，扫过的平截头体的曲面如下图所示。

表面积可以近似看作是 $2\pi y^*L$，其中 $y^*$ 是 $PQ$ 的平均高度。由于 $f\geq 0$，从下图可以看出平均高度是 $y^*=(f(x_{k-1})+f(x_k))/2$，线段长度是 $L=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}$。

因此面积是 $$A=2\pi\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}\cdot\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}=\pi(f(x_{k-1})+f(x_k))\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}$$ 对 $n$ 个子区间求和得到平截头体的表面积 $$\sum_{k=1}^n\pi(f(x_{k-1})+f(x_k))\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}$$ 如果函数 $f$ 可导，中值定理告诉我们 $PQ$ 之间存在一点 $(c_k,f(c_k))$ 使得其切线平行于线段 $PQ$，如下图所示。

在这一点上有 $$f'(c_k)=\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}$$ $$\Delta y_k=f'(c_k)\Delta x_k$$ 代入上面的和式可以得到 $$\sum_{k=1}^n\pi(f(x_{k-1})+f(x_k))\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}=\sum_{k=1}^n\pi(f(x_{k-1})+f(x_k))\sqrt{1+(f'(c_k))^2}\Delta x_k$$ 注意，这不是黎曼和，因为 $x_{k-1},x_k,c_k$ 不相同。不过，它们距离非常近，所以我们期待（能够证明）随着 $[a,b]$ 的分区的模趋于零，和式收敛于 $$\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(c_k))^2}dx$$ 因此我们可以得到如下定义：

定义 如果函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续地可导，那么将其绕 $x$ 轴得到的图形的表面积是 $$S=\int_a^b2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(c_k))^2}dx$$

例1 求曲线 $y-\sqrt{x},1\leq x\leq 2$ 绕 $x$ 轴旋转得到的图形的面积。如下图所示。

解：根据题意，公式中量分别是 $$a=1,b=2,y=2\sqrt{x},\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$ 首先求被积函数 $$\begin{aligned} \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}&=\sqrt{1+(\frac{1}{\sqrt{x}})^2}\\ &=\sqrt{1+\frac{1}{x}}\\ &=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \end{aligned}$$ 因此面积是 $$\begin{aligned} S&=\int_1^22\pi\cdot 2\sqrt{x}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}dx\\ &=4\pi\int_1^2\sqrt{x+1}dx\\ &=4\pi\cdot\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\bigg|_1^2\\ &=\frac{8\pi}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}) \end{aligned}$$

绕 $y$ 轴旋转

对于绕 $y$ 轴旋转，只需要交换公式中的 $x$ 和 $y$ 即可。

如果 $x=g(y)\geq 0$ 在 $[a,b]$ 上连续地可导，那么曲线绕 $y$ 轴旋转生成的面的面积是 $$S=\int_c^d2\pi x\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy=\int_c^d2\pi g(y)\sqrt{1+[g'(y)]^2}dy$$

例2 求线段 $x=1-y,0\leq y\leq 1$ 绕 $y$ 轴旋转得到的面的面积，不包括底。如下图所示。
解：可以使用几何法。 $$A=\frac{1}{2}\text{base circumference}\times\text{height}=\pi\sqrt{2}$$ 下面使用公式，所以 $$c=0,d=1,x=1-y,\frac{dx}{dy}=-1$$ $$\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}=\sqrt{1+(-1)^2}=\sqrt{2}$$ 所以面积是 $$\begin{aligned} S&=\int_c^d2\pi x\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy\\ &=\int_0^12\pi(1-y)\sqrt{2}dy\\ &=2\pi\sqrt{2}(y-\frac{y^2}{2})\bigg|_0^1\\ &=\pi\sqrt{2} \end{aligned}$$