050 功和流体力学 Work and Fluid Forces
恒力做功
恒力 作用于一个物体，沿着力的方向移动了距离 ，那么所做的功（work）是
国际单位制下，力的单位是牛顿 ，长度单位是 ，乘积就是 ，有专门的名字：焦耳（joule）。
沿直线的变力做功
如果沿直线的力是变力，如果求所做的功呢？和之前一样，切分，求和，求极限，转化成定积分。这里不再赘述，直接给出公式。
变力 沿着 轴使一个物体从 移动到 所做的功是
如果 的单位是牛顿 的单位是米，那么积分的单位是焦耳。
胡克定律：
胡克定律（Hooke's Law）是说拉伸或者压缩一个弹簧所需要的力正比于偏离自然位置的距离 ：
称为弹簧系数（spring constant）。胡克定律有效的前提是力没有大到使弹簧金属形变。
例2 一弹簧自然长度是 30cm，弹簧系数 ，求压缩到 20cm 所做的功。
解：如下图所示，选择将弹簧的一端固定到 处，这样力的公式非常简单。
根据胡克定律有
那么功的大小是
例3 一弹簧自然长度是 1m。24N 的力将其拉长到 1.8m。求
（a）弹簧系数
（b）拉长到超过自然长度 2m 所做的功
（c）45N 的力能拉长到多少
解：（a）根据胡克定律
（b）变力
弹簧从 0m 拉到 2m 所需要的功是
（c） 能来到多长？代入胡克定律
提物体和泵液体
例4 一个 2kg 重的物体匀速提到 6m 高的地方。如下图所示。绳子的重量是 0.1kg/m。求提升所作的功。
解：重物的重量不变，做功是
绳子的重量是变量 ，那么力是
所以做功是
所以总功大小是 135.24J。
例5 如下图所示的锥体，装了重量为 或 的油，距离顶部 2m。求将油泵出容器需要多少功？
解：将油切分成水平圆盘。在 到 之间的体积是
对应提取所需要的力等于重力
在 处的油需要提升的高度是 ，所以
对 个 求和， 无穷大时等于定积分，所以
液体压强和压力
如下图所示。大坝所受的压强仅与深度相关。深度 受到重量密度 液体的压强是
如果受到压力的面积是 ，那么压力是
比如，水的重量密度是 9800，液体底部是一个 的矩形，深度是 1m，那么底部受到的力是
如果一个平板水平的没入水中，那么平面受到的力按照上面的公式计算即可。如果垂直没入水中，那么由于 是变量，计算压力使用微积分。
这里还是切分，求和， 无穷多，求定积分。不再赘述，公式是
例6 一个等腰直角三角形，高 1m，底边长 2m，如下图所示放置，底距离水面 0.6m。求平板所受的压力。
解：顶位于坐标原点。那么水平高度是 1.6m，三角形底的高度是 1m，腰所在的直线是 ，所以
深度是 ，所以等腰直角三角形所受的压力是