010 定义为积分的对数 The Logarithm Defined as an Integral

第一章中，我们说自然对数函数 $\ln x$ 是自然指数 $e^x$ 的反函数。函数 $e^x$ 是一族函数 $a^x,a>0$ 中的一个，其在 $y$ 轴交点处的斜率恰好是 1。
这一节我们会从全新的视角来定义这些函数。首先，应用微积分基本定理以积分的形式定义自然对数函数 $\ln x$，然后分析其性质。然后定义其反函数 $e^x$，研究其性质。这看似是一种不直接的方式，且看起来有点奇怪，但是这使得我们可以用一种优雅的方式分析他们的性质。

自然对数函数的定义

正数 $x$ 的自然对数写作 $\ln x$，使用第五章的微积分基本定理，可以给出下面这个自然对数函数的定义 $$\ln x=\int_1^x\frac{1}{t}dt,x>0$$ 从基本定理可知，$\ln x$ 是连续函数。从几何上分析，当 $x>1$ 时，$\ln x$ 对应从 $t=1$ 到 $t=x$ 图像 $1/t$ 下方的面积，如下图所示。当 $0<x<1$ 时，$\ln x$ 是从 $x$ 到 $1$ 图像下方面积的负数。$x\leq 0$ 时无定义。

从定义我们可以得到 $$\ln x=\int_1^1 \frac{1}{t}dt=0$$ 从 $t=1$ 到 $t=x$，我们使用矩形的有限和可以近似 $y=1/t$ 下方的面积，这样就可以近似估计对应 $x$ 的 $\ln x$ 的值。如下表所示。

$x$	$\ln x$
0	undefined
0.05	-3.00
0.5	-0.69
1	0
2	0.69
3	1.10
4	1.39
10	2.30

由于 $\ln x$ 是连续的，由中值定理可知在 $[2,3]$ 之间，存在一个数，其自然对数是 1。我们将这个数定义为 $e$ $$\ln(e)=\int_1^e\frac{1}{t}dt=1$$ 从几何上解释，在 $[1,e]$ 这个区间上，图像 $y=1/t$ 下方的面积之和恰好是 1。如上图的蓝色部分所示。之前，我们给过 $e$ 的近似值是 $2.718281828\cdots$。

$y=\ln x$ 的导数

由微积分积分定理可以得到 $$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{d}{dx}\int_1^x\frac{1}{t}dt=\frac{1}{x}$$ 因此，函数 $y=\ln x$ 是初始值问题 $dy/dx=1/x,x>0,y(1)=0$ 的解。注意，导数永远是正数。
如果 $u$ 是 $x$ 的可导函数且值是正数，那么 $\ln u$ 是存在的。根据链式法则有 $$\frac{d}{dx}\ln u=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}$$ 3.8 小节的例3 我们求解过 $y=\ln |x|$ 的导数 $$\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x},x\neq 0$$ 如果 $b$ 是常量，且有 $bx>0$ 那么 $$\frac{d}{dx}\ln bx=\frac{1}{bx}\frac{d}{dx}(bx)=\frac{1}{bx}\cdot b=\frac{1}{x}$$

$\ln x$ 的值域和图像

由于 $dy/dx=1/x,x>0$ 是正数，所以 $\ln x$ 是递增函数。二阶导 $-1/x^2$ 是负数，所以函数图像上凸。如下图所示。

$\ln x$ 有下面这些属性，下一个小节会给出严格的证明。

$$\begin{aligned} \ln bx&=\ln b+\ln x\\ \ln \frac{b}{x}&=\ln b-\ln x\\ \ln \frac{1}{x}&=-\ln x\\ \ln x^r&=r\ln x, r \text{ rational} \end{aligned}$$ 我们可以根据上图估算 $\ln 2$ 的值。图像下方是一个宽 1 高 0.5 的矩形，所以面积是 1/2，所以 $$\ln 2>\frac{1}{2}$$ 进而可以得到 $$\ln 2^n=n\ln 2>n(\frac{1}{2})=\frac{n}{2}$$ 这也告诉我们当 $n\to\infty$ 时有 $\ln (2^n)\to\infty$。由于 $\ln x$ 是递增函数，所以 $$\lim_{x\to\infty}\ln x=\infty$$ 同时 $$\lim_{x\to 0^-}\ln x=\lim_{t\to\infty}\ln t^{-1}=\lim_{t\to\infty}(-\ln t)=-\infty$$ 我们定义 $y=\ln x,x>0$，所以其定义域是所有正实数。根据上述的讨论和中值定理，其值域是整个实数集。

积分 $\int 1/udu$

如果 $u$ 是可导函数且值域不为零，那么 $$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$$ 上式要求 $u\neq 0$。形如 $\int\frac{du}{u}$ 的积分结果是对数函数。当 $u=f(x)$ 可导且不会为零时，我们有 $du=f'(x)dx$，所以 $$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$$

例1 形如 $\int\frac{du}{u}$ 的积分 $$\begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{4\cos\theta}{3+2\sin\theta}d\theta&=\int_1^5\frac{2}{u}du\\ &=2\ln|u|\bigg|_1^5\\ &=2\ln 5-2\ln 1\\ &=2\ln 5 \end{aligned}$$ 其中 $u=3+2\sin\theta$ 在$[-\pi/2,\pi/2]$ 上总是正数。

$\ln x$ 的反函数和数 $e$

函数 $\ln x$ 的定义域是 $(0,\infty)$ 值域是 $(-\infty,\infty)$，那么其反函数 $\ln^{-1} x$ 的定义域是 $(-\infty,\infty)$ 值域是 $(0,\infty)$。两个函数的图像关于 $y=x$ 对称。如下图所示。

$$\lim_{x\to\infty}\ln^{-1}x=\infty$$ $$\lim_{x\to-\infty}\ln^{-1}x=0$$ 我们用 $\exp x$ 表示 $\ln^{-1} x$，注意这时我们还没有说 $\exp x$ 是指数函数，只是自然对数函数的反函数。
数 $e$ 的定义是满足 $\ln e=1$ 的数，所以 $e=\exp(1)$。使用代数，可以得到实数 $r$ 对应的 $e^r$ $$e^2=e\cdot e,e^{-2}=\frac{1}{e^2},e^{1/2}=\sqrt{e},e^{2/3}=\sqrt[3]{e^2}$$ 由于 $e$ 是正数，那么 $e^r$ 也是正数，那么 $e^r$ 存在对数。所以对所有实数 $r$ 有 $$\ln e^r=r\ln e=r$$ 两边同时应用函数 $\ln^{-1}$ $$e^r=\exp r$$ 这时，才有 $\exp r$ 是指数函数，底是 $e$。不过还没有给出 $x$ 是无理数时的 $e^x$ 定义。从 $\exp x$，即 $\ln^{-1} x$ 的定义域是整体实数，可以得到上面的式子对任意实数都是成立的。所以对任意实数 $x$，自然之数函数的定义就是 $$e^x=\exp x$$ 由于 $\ln x$ 和 $e^x$ 互为反函数，所以 $$e^{\ln x}=x, x>0$$ $$\ln e^x=x,x\in(-\infty,\infty)$$

$e^x$ 的积分和微分

因为指数函数的反函数可导，且导数不为零，所以指数函数也可导。根据 3.8 节的定理 3 和 $\ln x$ 的导数推导 $e^x$ 的导数。已知 $$f(x)=\ln x,y=e^x=\ln^{-1}x=f^{-1}(x)$$ 那么 $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=\frac{d}{dx}e^x\\ &=\frac{d}{dx}\ln^{-1}x\\ &=\frac{d}{dx}f^{-1}(x)\\ &=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\\ &=\frac{1}{f'(e^x)}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{e^x}}\\ &=e^x \end{aligned}$$ 所以自然指数函数的导数是其自身。下一节我们会证明满足这个性质的函数只有 $e^x$ 的常数倍。根据链式法则，我们可以得到更一般的规则。如果 $u$ 是 $x$ 的可导函数，那么 $$\frac{d}{dx}e^u=e^u\frac{du}{dx}$$ 由于 $e^x$ 始终大于零，所以它的导数也是正数，那么它在定义域上都是递增函数，那么 $$\lim_{x\to -\infty}e^x=0,\lim_{x\to\infty}e^x=\infty$$ 所以 $x$ 轴是水平渐近线。
由上面的公式可以得到 $e^u$ 的积分 $$\int e^udu=e^u+C$$ 如果 $f(x)=e^x$，那么 $f'(0)=e^0=1$，也就是说，当 $x=0$ 时，即和 $y$ 轴的交点上，其斜率是 1。这和 3.3 节得到的结论一致。

指数法则

由 $e^x$ 是 $\ln x$ 的反函数和对数法则可以得到下列指数法则。下一节会给出证明。 $$\begin{aligned} e^{x_1}\cdot e^{x_2}&=e^{x_1+x_2}\\ e^{-x}&=\frac{1}{e^x}\\ \frac{e^{x_1}}{e^{x_2}}&=e^{x_1-x_2}\\ (e^{x_1})^{x_2}&=e^{x_1x_2}=(e^{x_2})^{x_1} \end{aligned}$$

指数函数 $a^x$

任意正数 $a$ 可以写作 $a=e^{\ln a}$，所以我们可以通过 $(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}$ 来表示 $a^x$。

定义 对于任意数 $a>0$ 和 $x$，底为 $a$ 的指数函数是 $$a^x=e^{x\ln a}$$

当 $a=e$ 时，由定义有 $$a^x=e^{x\ln a}=e^{x\ln e}=e^x$$ 类似的，任意正数 $x$ 的幂函数 $f(x)=x^r$ 也可以写作 $x^r=e^{r\ln x}$，对于所有实数 $r$ 都成立。
上面的指数法则对 $a^x$ 也都成立。比如 $$\begin{aligned} a^{x_1}\cdot a^{x_2}&=e^{x_1\ln a}\cdot e^{x_2\ln a}\\ &=e^{x_1\ln a+x_2\ln a}\\ &=e^{(x_1+x_2)\ln a}\\ &=a^{x_1+x_2} \end{aligned}$$ 从定义出发，我们可以得到导数 $$\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=\ln ae^{x\ln a}=a^x\ln a$$ 通过对数微分法也可以得到相同结果。 $$\begin{aligned} y&=a^x\\ \ln y&=x\ln a\\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}&=\ln a\\ \frac{dy}{dx}&=y\ln a=a^x\ln a \end{aligned}$$ 通过链式法则，可以得到下面的结论。

如果 $a>0$ 且 $u$ 是 $x$ 的可导函数，那么 $a^u$ 也是 $x$ 的可导函数。 $$\frac{d}{dx}a^u=a^u\ln a\frac{du}{dx}$$ 积分结果是 $$\int a^udu=\frac{a^u}{\ln a}+C$$

底为 $a$ 的对数函数

如果 $a$ 是 1 以外的正数，那么函数 $a^x$ 是一个一对一的、任一点都可导且导数不为零。所以它有一个可导的反函数。

定义 对任意正数 $a\neq 1$，底为 $a$ 的 $x$ 的对数函数记作 $\log_a x$，是 $a^x$ 的反函数。

$y=a^x$ 图像沿着 $y=x$ 对称就得到了 $y=\log_a x$ 的图像。如下图所示。

当 $a=e$ 时，$\log_e x$ 是 $e^x$ 的反函数，即 $\ln x$。因为 $a^x$ 和 $\log_a^x$ 互为反函数，所以 $$\begin{aligned} a^{\log_a x}&=x,x>0\\ \log_a a^x&=a \end{aligned}$$ 正如 1.5 节所述，函数 $\log_a x$ 是 $\ln x$ 的若干倍。 $$\begin{aligned} y&=\log_a x\\ a^y&=x\\ \ln a^y&=\ln x\\ y\ln a&=\ln x\\ y&=\frac{\ln x}{\ln a}\\ \log_a x&=\frac{\ln x}{\ln a} \end{aligned}$$ 对数法则也适用于 $\log_a x$，因为将对数法则两边同时除以 $\ln a$ 即可。 $$\begin{aligned} \ln xy&=\ln x+\ln y\\ \frac{\ln xy}{\ln a}&=\frac{\ln x}{\ln a}+\frac{\ln y}{\ln a}\\ \log_a xy&=\log_a x+\log_a y \end{aligned}$$ 四条法则如下。 $$\begin{aligned} \log_a xy&=\log_a x+\log_a y\\ \log_a \frac{x}{y}&=\log_a x-\log_a y\\ \log_a \frac{1}{y}&=-\log_a y\\ \log_a x^y&=y\log_a x \end{aligned}$$

涉及 $\log_a x$ 的微分和积分

为了找到底为 $a$ 的对数函数的微分和积分，我们把它转化为自然对数函数。如果$u$ 是 $x$ 的正的可导函数，那么 $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(\log_a u)&=\frac{d}{dx}\frac{\ln u}{\ln a}\\ &=\frac{1}{\ln a}\frac{d}{dx}\ln u\\ &=\frac{1}{\ln a}\frac{1}{u}\frac{du}{dx} \end{aligned}$$

例2 求下面式子的微分和积分。
（a） $$\frac{d}{dx}\log_{10}(3x+1)=\frac{1}{\ln 10}\frac{1}{3x+1}\frac{d}{dx}(3x+1)=\frac{3}{(\ln 10)(3x+1)}$$ （b） $$\begin{aligned} \int\frac{\log_2 x}{x}dx&=\frac{1}{\ln 2}\int\frac{\ln x}{x}dx\\ &=\frac{1}{\ln 2}\int udu\\ &=\frac{1}{\ln 2}\frac{u^2}{2}+C\\ &=\frac{(\ln x)^2}{2\ln 2}+C \end{aligned}$$