020 指数变化和可分离微分方程 Exponential Change and Separable Differential Equations

随着变量的变化，指数变化增加或者减小的非常快，能够描述很多自然和工业领域的场景，这也说明这些函数很重要。

指数变化

现实世界中，很多量 $y$ 在给定时间 $t$ 增长或衰减的部分正比如当前的量，比如人口的增长、放射性物质、温度的变化。这些量的变化称为指数变化（exponential change）。
在 $t=0$ 时的量是 $y_0$，$y$ 关于 $t$ 的变化方程就是初始值问题 $$\frac{dy}{dt}=ky;y=y_0,t=0$$ 如果 $y$ 是正数，$k$ 为正表示增长，$k$ 为负表示衰减。
如果 $y_0=0$ 那么 $y=0$ 是方程的解。现在求解 $y_0\neq 0$ 的情况，方程两边同除 $y$ $$\begin{aligned} \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}&=k\\ \int\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dt&=\int kdt\\ \ln|y|&=kt+C\\ |y|&=e^{kt+C}\\ |y|&=e^{C}e^{kt}\\ y&=\pm e^Ce^{kt}\\ y&=Ae^{kt} \end{aligned}$$ 如果可能的话 $A=0$ 就是 $y=0$ 时的解。
下面求初始值问题的 $A$ $$y_0=Ae^{k\cdot 0}=A$$ 所以初始值问题 $$\frac{dy}{dx}=ky,y(0)=y_0$$ 的解是 $$y=y_0e^{kt}$$ 如果 $k>0$，那么指数增长，如果 $k<0$，那么指数衰减。如下图所示。

上面的公式说明函数的导数是自身的函数只有指数函数（$k=1$）。

可分离微分方程

更一般的微分方程写作 $$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$ 这里函数 $f$ 包含自变量和应变量。
如果函数能写成如下形式，即 $f$ 写作 $x$ 的表达式乘以 $y$ 的表达式 $$\frac{dy}{dx}=g(x)H(y)$$ 那么称为可分离（separable）的微分方程。
将 $y,dy$ 和 $x,dx$ 分到两边得到 $$\frac{1}{H(y)}dy=g(x)dx$$ 两边积分得到 $$\int\frac{1}{H(y)}dy=\int g(x)dx$$ 通过代入法很容易验证 $$\begin{aligned} \int\frac{1}{H(y)}dy&=\int\frac{1}{H(y)}\frac{dy}{dx}dx\\ &=\int\frac{1}{H(y)}g(x)H(y)dx\\ &=\int g(x)dx \end{aligned}$$

例1 求 $$\frac{dy}{dx}=(1+y)e^x,y>-1$$ 解：因为 $y>-1$ 所以 $1+y$ 不为零。分离变量 $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=(1+y)e^x\\ \frac{dy}{1+y}&=e^xdx\\ \int\frac{dy}{1+y}&=\int e^xdx\\ \ln(1+y)&=e^x+C \end{aligned}$$

例2 求解方程 $$y(x+1)\frac{dy}{dx}=x(y^2+1)$$ 解：分离变量然后积分 $$\begin{aligned} y(x+1)dy&=x(y^2+1)dx\\ \frac{ydy}{y^2+1}&=\frac{xdx}{x+1}\\ \int\frac{ydy}{y^2+1}&=\int(1-\frac{1}{x+1})dx\\ \frac{1}{2}\ln(y^2+1)&=x-\ln|x+1|+C \end{aligned}$$

初始值问题 $$\frac{dy}{dx}=ky,y(0)=y_0$$ 也是可分离微分方程，解 $y=y_0e^{kt}$ 表示指数变化。

无限人口增长

严格地将，人口数是离散的。不过人口数很大的话，可以看作是连续的函数，且是可微的，使得可以用微积分来建模和预测人口。
假设 $t$ 时人口变化正比于 $y(t)$，即 $dy/dt=ky$，那么 $y=y_0e^{kt}$，$y_0$ 是 $t=0$ 时的人口数。这个模型有一个问题，人口会无限制的增长，但是人口往往会受到环境等因素的限制。16.4 节会讨论更严格的模型。当 $k$ 是正数时，人口就会无限增长，如下图所示。注意，这里并没有给出数据表格。

例3 酵母培养物的量的初始值是 29 克，30 分钟之后是 37 克。假设小于 100 克时都符合无限人口增长的模型。求什么时候是初始值的两倍。
解：模型是 $$y=y_0e^{kt}$$ 且已知 $$y_0=29, y(30)=37$$ 那么 $$y(30)=29e^{30k}=37$$ $$k=\frac{1}{30}\ln(\frac{37}{29})\approx 0.008118$$ 所以 $$y=29e^{(0.008118)t}$$ 数量翻倍 $$\begin{aligned} 29e^{(0.008118)t}&=58\\ (0.008118)t&=\ln(\frac{58}{29})\\ t&=\frac{\ln 2}{0.008118}\approx 85.38 \end{aligned}$$ 所以大约在 85 分钟时数量翻倍。

例4 这是一个指数衰减的例子，即 $k$ 是负值。受到感染的人数是 $y(t)$，治愈数量正比于人数，即 $dy/dt=ky$。假设一年后受感染人数减少了 20%，现在感染人数是 10000 人，求何时感染人数是 1000 人？
解：根据题意 $y_0=10000$，所以 $$y=10000e^{kt}$$ $t=1$ 时，减少了 20%，所以 $$\begin{aligned} 8000&=10000e^k\\ e^k&=0.8\\ k&=\ln 0.8 \end{aligned}$$ 所以 $$y(t)=10000e^{(\ln 0.8) t}$$ 题目给出 $y(t)=1000$，求 $t$。 $$\begin{aligned} 1000&=10000e^{(\ln 0.8)t}\\ e^{(\ln 0.8)t}&=0.1\\ (\ln 0.8)t&=\ln 0.1\\ t&=\frac{\ln 0.1}{\ln 0.8}\approx 10.32 \end{aligned}$$ 大约需要 10 年感染人数会减低到 1000，如下图所示。

放射性

一些原子不稳定，会进行放射性衰变。衰变速率正比于放射性物质的量，即 $dy/dt=-ky,k>0$，这里取 $k>0$ 为了强调 $y$ 的递减。如果 $y_0$ 表示初始量，那么任意时刻 $t$ 有 $$y=y_0e^{-kt},k>0$$ 很容易计算得到半衰期 $$t_{\text{half}}=\frac{\ln 2}{k}$$

例5 碳14 常常用于推测历史事件的时间，其半衰期是 5730 年。问需要多久只剩余 10%。
解：先求解 $k$。 $$k=\frac{\ln 2}{t_{\text{half}}}=\frac{\ln 2}{5730}$$ 求 $t$ 使得 $e^{-kt}=0.9$。 $$\begin{aligned} e^{-kt}&=0.9\\ e^{-(\ln 2/5730)t}&=0.9\\ -\frac{\ln 2}{5730}t&=\ln 0.9\\ t&=-\frac{5730\ln 0.9}{\ln 2}\approx 871 \end{aligned}$$

热传导：牛顿冷却定律

热的物体冷却的速率正比于热的物体的温度和周围温度的差，这就是牛顿冷却定律。
如果一个物体的温度是 $H$，周围环境温度恒定为 $H_S$，那么微分方程是 $$\frac{dH}{dt}=-k(H-H_S)$$ 使用 $y$ 替代 $H-H_S$，那么 $$\begin{aligned} \frac{dy}{dt}&=\frac{d}{dt}(H-H_S)\\ &=\frac{dH}{dt}-\frac{dH_S}{dt}\\ &=\frac{dH}{dt}\\ &=-k(H-H_S)\\ &=-ky \end{aligned}$$ 解是 $$y=y_0e^{-kt},y_0=H_0-H_S$$ 所以 $$H=H_S+(H_0-H_S)e^{-kt}$$

例6 煮好的鸡蛋温度是 98°C，放入 18°C 的水中，5分钟后鸡蛋温度是 38°C，水温没有明显变化，还需要多久鸡蛋温度能到 20°C？
解：根据题意 $H_S=18,H_0=98$，那么 $$H=18+80e^{-kt}$$ 由于 $H(5)=38$，所以 $$\begin{aligned} 38&=18+80e^{-5k}\\ e^{-5k}&=\frac{1}{4}\\ -5k&=\ln\frac{1}{4}=-\ln 4\\ k&=\frac{1}{5}\ln 4 \end{aligned}$$ 求 $H=20$ 时的 $t$。
$$\begin{aligned} 20&=18+e^{-(0.2\ln 4)t}\\ e^{-(0.2\ln 4)t}&=\frac{1}{40}\\ -(0.2\ln 4)t&=\ln\frac{1}{40}=-\ln 40\\ t&=\frac{5\ln 40}{\ln 4}\approx 13 \end{aligned}$$ 也就是 13 分钟的时候鸡蛋温度会降到 20°C，由于已经过去了 5 分钟，所以还需要 8 分钟。