010 应用基本的积分公式 Using Basic Integration Formulas

公式大全给出了很多函数的积分，下面也会再次列出几个基本函数的积分公式，结合第五章学习的替换法，能够解决很多更复杂的函数。 $$\int kdx=kx+C$$ $$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\neq -1$$ $$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$$ $$\int e^xdx=e^x+C$$ $$\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0,a\neq 1$$

例1 求 $$\int_3^5\frac{2x-3}{\sqrt{x^2-3x+1}}dx$$ 解： $$\begin{aligned} \int_3^5\frac{2x-3}{\sqrt{x^2-3x+1}}dx&=\int_1^{11}\frac{du}{\sqrt{u}}&&u=x^2+3x+1\\ &=2\sqrt{u}\bigg|_1^{11}\\ &=2(\sqrt{11}-1) \end{aligned}$$

例2 配方法以求解 $$\int\frac{dx}{\sqrt{8x-x^2}}$$ 解：对分母根号中的式子使用配方法 $$\begin{aligned} 8x-x^2&=-(x^2-8x)\\ &=-(x^2-8x+16-16)\\ &=16-(x-4)^2 \end{aligned}$$ 代入式子 $$\begin{align*} \int\frac{dx}{\sqrt{8x-x^2}}&=\int\frac{dx}{\sqrt{16-(x-4)^2}}\\ &=\int\frac{dx/4}{\sqrt{1-(\frac{x-4}{4})^2}}\\ &=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}&&u=\frac{x-4}{4}\\ &=\sin^{-1}u+C\\ &=\sin^{-1}\frac{x-4}{4}+C \end{align*}$$

例3 求积分 $$\int(\cos x\sin 2x+\sin x\cos 2x)dx$$ 解：通过三角变换简化被积分项，然后再求积分。 $$\begin{aligned} \int(\cos x\sin 2x+\sin x\cos 2x)dx&=\int(\sin(x+2x))dx\\ &=\int\sin 3xdx\\ &=\int\frac{1}{3}\sin udu\\ &=-\frac{1}{3}\cos 3x+C \end{aligned}$$

例4 求 $$\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{1-\sin x}$$ 解：分子分母同乘 $1+\sin x$，使得被积分项转化成了容易求解的式子。 $$\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{1-\sin x}&=\int_0^{\pi/4}\frac{1}{1-\sin x}\cdot\frac{1+\sin x}{1+\sin x}dx\\ &=\int_0^{\pi/4}\frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x}dx\\ &=\int_0^{\pi/4}\frac{1+\sin x}{\cos^2 x}dx\\ &=\int_0^{\pi/4}(\sec^2 x+\sec x\tan x)dx\\ &=\bigg[\tan x+\sec x\bigg]_0^{\pi/4}\\ &=1+\sqrt{2}-0-1\\ &=\sqrt{2}\end{aligned}$$

例5 求 $$\int\frac{3x^2-7x}{3x+2}dx$$ 解：因为被积分项的分子的最高幂次大于分母的最高幂次，所以是假分数。我们可以先用长除法分离得到一个多项式加上余数的形式。 $$\frac{3x^2-7x}{3x+2}=x-3+\frac{6}{3x+2}$$ 所以 $$\begin{aligned} \int\frac{3x^2-7x}{3x+2}dx&=\int(x-3+\frac{6}{3x+2})dx\\ &=\frac{x^2}{2}-3x+2\ln|3x+2|+C \end{aligned}$$

使用长除法花间假分数不见得都能起作用，8.5 节会有例子。

例6 求 $$\int\frac{3x+2}{\sqrt{1-x^2}}dx$$ 解：首先分离被积分项。 $$\frac{3x+2}{\sqrt{1-x^2}}dx=3\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}+2\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ 首先求第一个积分项，使用替换法 $$u=1-x^2$$ $$du=-2xdx$$ $$xdx=-\frac{1}{2}du$$ 因此 $$\begin{aligned} 3\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}&=3\int\frac{(-1/2)du}{\sqrt{u}}\\ &=-\frac{3}{2}\int u^{-1/2}du\\ &=-\frac{3}{2}\cdot 2u^{1/2}+C_1\\ &=-3\sqrt{1-x^2}+C_1 \end{aligned}$$ 然后对第二项进行积分 $$2\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=2\sin^{-1} x+C_2$$ 所以 $$\int\frac{3x+2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-3\sqrt{1-x^2}+2\sin^{-1} x+C$$

不是任何时候都很明确用什么作替换，很多时候只能尝试，如果都不奏效，可以尝试后续几节的方法。

例7 求 $$\int\frac{dx}{(1+\sqrt{x})^3}$$ 解：尝试使用 $\sqrt{x}$ 替代，发现替换后的式子不容易求解。接着尝试使用 $u=1+\sqrt{x}$ 替换，得到 $$\begin{aligned} \int\frac{dx}{(1+\sqrt{x})^3}&=\int\frac{2(u-1)du}{u^3}\\ &=\int(\frac{2}{u^2}-\frac{2}{u^3})du\\ &=-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^2}+C\\&=\frac{1-2u}{u^2}+C\\ &=\frac{1-2(1+\sqrt{x})}{(1+\sqrt{x})^2}+C\\ &=C-\frac{1+2\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} \end{aligned}$$

例8 求 $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}x^3\sin xdx$$ 解：没有合适的替代方法，或者明确的代数变换。不过仔细观察，被积分区间 $[-\pi/2,\pi/2]$ 是对称的，同时 $x^3$ 是奇函数，$\sin x$ 是偶函数，所以它们的积也是奇函数，所以 $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}x^3\sin xdx=0$$