030 三角函数的积分 Trigonometric Integrals

三角函数的积分涉及六个基本三角函数的代数运算。一般地，我们通过恒等变形，将被积分的式子转化成更容易积分的式子。

正弦和余弦的幂的积分

我们从形如 $$\int\sin^m x\cos^n xdx$$ 的积分开始，其中 $m,n$ 是非负整数。根据 $m,n$ 的奇偶性可以分成三种情况。

第一种情况，$m$ 是奇数，可以将 $m$ 写作 $2k+1$，结合恒等式 $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ 可以得到 $$\sin^m x=\sin^{2k+1} x=(\sin^2 x)^k\sin x=(1-\cos^2 x)^k\sin x$$ 将 $\sin x$ 和 $dx$ 结合得到 $-d(\cos x)$。

第二种情况，$n$ 是奇数，和上面类似的推导可以得到 $$\cos^n x=\cos^{2k+1} x=(\cos^2 x)^k\cos x=(1-\sin^2 x)^k\cos x$$ 将 $\cos x$ 和 $dx$ 结合得到 $d(\sin x)$。

第三种情况，$m,n$ 都是偶数，使用 $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$ 替换被积分的式子，得到用 $\cos 2x$ 更低次幂的式子。

例1 求 $$\int\sin^3 x\cos^2 xdx$$ 解：这个式子是第一种情况。 $$\begin{aligned} \int\sin^3 x\cos^2 xdx&=\int\sin^2 x\cos^2 x\sin xdx\\ &=\int(1-\cos^2 x)(\cos^2 x)(-d(\cos x))\\ &=\int(1-u^2)(u^2)(-du)\\ &=\int(u^4-u^2)du\\ &=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}+C\\ &=\frac{\cos^5 x}{5}-\frac{\cos^3 x}{3}+C \end{aligned}$$

例2 求 $$\int\cos^5 xdx$$ 解：这个例子是第二种情况。 $$\begin{aligned} \int\cos^5 xdx&=\int\cos^4 x\cos xdx\\ &=\int(1-\sin^2 x)^2d(\sin x)\\ &=\int(1-u^2)^2du\\ &=\int(1-2u^2+u^4)du\\ &=u-\frac{2u^3}{3}+\frac{u^5}{5}+C\\ &=\sin x-\frac{2\sin^3 x}{3}+\frac{\sin^5 x}{5}+C \end{aligned}$$

例3 求 $$\int\sin^2 x\cos^4 xdx$$ 解：这个第三种情况。 $$\begin{aligned} \int\sin^2 x\cos^4 xdx&=\int(\frac{1-\cos 2x}{2})(\frac{1+\cos 2x}{2})^2dx\\ &=\frac{1}{8}\int(1-\cos 2x)(1+2\cos 2x+\cos^2 2x)dx\\ &=\frac{1}{8}\int(1+\cos 2x-\cos^2 2x-\cos^3 2x)\\ &=\frac{1}{8}[x+\frac{1}{2}\sin 2x-\int(cos^2 2x+\cos^3 2x)dx] \end{aligned}$$ 这里涉及 $\cos^2 2x$， $$\int\cos^2 2xdx=\frac{1}{2}\int(1+\cos 4x)dx=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{4}\sin 4x)$$ 对于 $\cos^3 2x$，这是第二种情况，所以 $$\begin{aligned} \int\cos^3 2xdx&=\int(1-\sin^2 2x)\cos 2xdx\\ &=\frac{1}{2}\int(1-u^2)du\\ &=\frac{1}{2}(\sin 2x-\frac{\sin^3 2x}{3}) \end{aligned}$$ 代入原始的式子可以得到 $$\int\sin^2 x\cos^4 xdx=\frac{1}{16}(x-\frac{1}{4}\sin 4x+\frac{1}{3}\sin^3 2x)+C$$

消除平方根

下面这个例子使用恒等式 $\cos^2\theta=(1+\cos 2\theta)/2$ 消除平方运算。

例4 求 $$\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+\cos 4x}dx$$ 解：利用 $$\cos^2\theta=\frac{(1+\cos 2\theta)}{2}$$ 消除平方根。令 $\theta=2x$，那么 $$1+\cos 4x=2\cos^2 2x$$ 所以 $$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4}\sqrt{1+\cos 4x}dx&=\int_0^{\pi/4}\sqrt{2\cos^2 2x}dx\\ &=\sqrt{2}\int_0^{\pi/4}|\cos 2x|dx\\ &=\sqrt{2}\int_0^{\pi/4}\cos 2xdx\\ &=\sqrt{2}\bigg[\frac{\sin 2x}{2}\bigg]_0^{\pi/4}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

正切和正割的幂的积分

涉及正切和正割的幂的积分，我们利用恒等式 $\tan^2 x=\sec^2 x-1,\sec^2 x=\tan^2 x+1$ 和部分积分来降低幂的次。

例5 求 $$\int\tan^4 xdx$$ 解： $$\begin{aligned} \int\tan^4 xdx&=\int\tan^2 x\tan^2 xdx\\ &=\int\tan^2 x(\sec^2 x-1)dx\\ &=\int\tan^2 x\sec^2 xdx-\int\tan^2 xdx\\ &=\int\tan^2 x\sec^2 xdx-\int(\sec^2 x-1)dx\\ &=\int\tan^2 x\sec^2 xdx-\int\sec^2 x+\int dx \end{aligned}$$ 对于第一项，令 $$u=\tan x,du=\sec^2 xdx$$ 有 $$\int u^2du=\frac{1}{3}u^3+C$$ 所以 $$\int\tan^4 xdx=\frac{1}{3}\tan^3 x-\tan x+x+C$$

例6 求 $$\int\sec^3 xdx$$ 解：分部积分法，令 $$u=\sec x,dv=\sec^2 xdx,du=\sec x\tan xdx,v=\tan x$$ 所以 $$\begin{aligned} \int\sec^3 xdx&=\sec x\tan x-\int\tan x(\sec x\tan x)dx\\ &=\sec x\tan x-\int(\sec^2 x-1)\sec xdx\\ &=\sec x\tan x+\int\sec xdx-\int\sec^3 xdx \end{aligned}$$ 简单地调整一下顺序 $$2\int\sec^3 xdx=\sec x\tan x+\int\sec xdx$$ 所以 $$\int\sec^3 xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C$$

例7 求 $$\int\tan^4 x\sec^4 xdx$$ 解： $$\begin{aligned} \int\tan^4 x\sec^2 xdx&=\int\tan^4 x(1+\tan^2 x)\sec^2 xdx\\ &=\int(\tan^6 x+\tan^4 x)\sec^2 xdx\\ &=\int(u^6+u^4)du\\ &=\frac{u^7}{7}+\frac{u^5}{5}+C\\ &=\frac{\tan^7 x}{7}+\frac{\tan^5 x}{5}+C \end{aligned}$$

正弦和余弦的积分

许多涉及周期的应用会出现下面的积分式 $$\int\sin mx\sin nxdx, \int\sin mx\cos nxdx, \int\cos mx\cos nxdx$$ 可以使用分布积分法，不过需要使用两次。更简单的方式是利用如下恒等式 $$\sin mx\sin nx=\frac{1}{2}[\cos(m-n)x-\cos(m+n)x]$$ $$\sin mx\cos nx=\frac{1}{2}[\sin(m-n)x+\sin(m+n)x]$$ $$\cos mx\cos nx=\frac{1}{2}[\cos(m-n)x+\cos(m+n)x]$$

例8 求 $$\int\sin 3x\cos 5xdx$$ 解： $$\begin{aligned} \int\sin 3x\cos 5xdx&=\frac{1}{2}\int[\sin(-2x)+\sin(8x)]dx\\ &=\frac{1}{2}\int(\sin 8x-\sin 2x)dx\\ &=-\frac{\cos 8x}{16}+\frac{\cos 2x}{4}+C \end{aligned}$$