050 部分分数法求有理函数积分 Integration of Rational Functions by Partial Fractions

这一小节回讲解如何将有理函数（多项式函数的商）写作更简单的部分之和，这些部分称为部分分数（partial fractions），拆分之后的函数更容易求积分。比如 $$\frac{5x-3}{x^2-2x-3}=\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-3}$$ 这个技能在一些其他场景也很有用。如果能过左边函数写作右边简单的形式，那么求解积分就很容易了。 $$\begin{aligned} \int\frac{5x-3}{x^2-2x-3}dx&=\int\frac{2}{x+1}dx+\int\frac{3}{x-3}dx\\ &=2\ln|x+1|+3\ln|x-1|+C \end{aligned}$$ 这种方法称为部分分数法。回到之前的例子，我们需要找到下面式子的 $A, B$ $$\frac{5x-3}{x^2-2x-3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}$$ 等式右边的两项是部分分数，原因是它们的分母是原始分母 $x^2-2x-3$ 的一部分。$A, B$ 称为待定系数。

为了求解 $A, B$，我们需要重新按照 $x$ 的幂次整理上面的方程 $$5x-3=A(x-3)+B(x+1)=(A+B)x-3A+B$$ 上式成立等价于 $x$ 幂次相同的系数也相同，即 $$5=A+B,-3=-3A+B$$ 解这个二元一次方程组得到 $A=2,B=3$。

部分分数法的一般描述

将有理函数 $f(x)/g(x)$ 写作部分分数之和依赖于下面两个事实。 * $f(x)$ 的最高幂次小于 $g(x)$ 的最高幂次，即 $f(x)/g(x)$ 是真分数。如果不是，用 $g(x)$ 除 $f(x)$，然后用部分分数法求解余数部分。例3 就是这种情况。 * 需要知道 $g(x)$ 的因数。理论上，任意多项式都能写作线性因子和二次项因子的乘积。不过实践中可能很难分解因数。

当 $g(x)$ 因数知道的时，下面是求真分数 $f(x)/g(x)$的方法。如果一个二项式不能写作两个线性因子之积，则其不可约（irreducible），也就是说多项式没有实数解。

1. 令 $x-r$ 是 $g(x)$ 的一个线性因子，其最高幂次是 $(x-r)^m$，那么对于这个因子，可以写作 $m$ 个部分分数之和 $$\frac{A_1}{(x-r)}+\frac{A_2}{(x-r)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-r)^m}$$
2. 令 $x^2+px+q$ 是 $g(x)$ 不可约的二次项因子，即 $x^2+px+q$ 没有实数根。假定其最高次幂是 $(x^2+px+q)^n$，那么对于这个因子可以分解成 $n$ 个部分分数之和 $$\frac{B_1x+C_1}{(x^2+px+q)}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots+\frac{B_nx+C_n}{(x^2+px+q)^n}$$
3. 将原始函数 $f(x)/g(x)$ 写成这些分数之和的形式。两边同时乘以原始的分母，然后按照 $x$ 的降幂顺序重新排列。
4. 使 $x$ 幂次相同的系数相等，求解待定系数。

例1 求 $$\int\frac{x^2+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx$$ 解：每个因子的幂次都是 1，那么分解的形式如下 $$\frac{x^2+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}$$ 上面的方程可以写作 $$\begin{aligned} x^2+4x+1&=A(x+1)(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+1)\\ &=A(x^2+4x+3)+B(x^2+2x-3)+C(x^2-1)\\ &=(A+B+C)x^2+(4A+2B)x+(3A-3B-C) \end{aligned}$$ 对应系数相等 $$\begin{aligned} A&+B&+C&=1\\ 4A&+2B&&=4\\ 3A&-3B&-C&=1 \end{aligned}$$ 解这个三元一次方程组得到 $$A=\frac{3}{4},B=\frac{1}{2},C=-\frac{1}{4}$$ 那么 $$\begin{aligned} \int\frac{x^2+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx&=\int[\frac{3}{4}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}\frac{1}{x+3}]dx\\ &=\frac{3}{4}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln|x+3|+K \end{aligned}$$ 这里使用 $K$ 表示任意常数的原因是避免和待定系数 $C$ 混淆。

例2 求 $$\int\frac{6x+7}{(x+2)^2}dx$$ 解：首先改写为包含待定系数的部分分数之和的形式 $$\frac{6x+7}{(x+2)^2}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+2)^2}$$ 两边同乘 $(x+2)^2$ $$6x+7=A(x+2)+B=Ax+2A+B$$ 所以 $$A=6,B=-5$$ 那么 $$\begin{aligned} \int\frac{6x+7}{(x+2)^2}dx&=\int(\frac{6}{x+2}-\frac{5}{(x+2)^2})dx\\ &=6\int\frac{1}{x+2}-5\int(x+2)^{-2}dx\\ &=6\ln|x+2|+5\frac{1}{x+2}+C \end{aligned}$$

下面的例子说明如何处理 $f(x)/g(x)$ 是假分数的情况，即 $f$ 的最高次幂比 $g$ 大。

例3 求 $$\int\frac{2x^3-4x^2-x-3}{x^2-2x-3}dx$$ 解：首先分子除以分母得到一个多项式和一个真分数 $$2x^3-4x^2-x-3=2x(x^2-2x-3)+(5x-3)$$ 所以 $$\frac{2x^3-4x^2-x-3}{x^2-2x-3}=2x+\frac{5x-3}{x^2-2x-3}$$ 对于最后一项真分数使用部分分数法即可，因此得到 $$\begin{aligned} \int\frac{2x^3-4x^2-x-3}{x^2-2x-3}dx&=\int 2xdx+\int\frac{5x-3}{x^2-2x-3}dx\\ &=\int 2xdx+\int\frac{2}{x+1}dx+\int\frac{3}{x-3}dx\\ &=x^2+2\ln|x+1|+3\ln|x-3|+C \end{aligned}$$

例4 求 $$\int\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}dx$$ 解：分母有一个不可约的二次多项式 $x^2+1$ 和重复的线性因子 $(x-1)^2$，所以部分分式是 $$\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$$ 消除分母得到 $$\begin{aligned} -2x+4&=(Ax+B)(x-1)^2+C(x^2+1)(x-1)+D(x^2+1)\\ &=(A+C)x^3+(-2A+B-C+D)x^2+(A-2B+C)x+(B-C+D)\\ \end{aligned}$$ 对应系数相等 $$\begin{aligned} 0&=A+C\\ 0&=-2A+B-C+D\\ -2&=A-2B+C\\ 4&=B-C+D \end{aligned}$$ 这个四元一次方程组比较容易解。

第四个方程减第二个方程得到 $$4=2A,A=2$$ 代入第一个方程得到 $$C=-2$$ 第一个方程减第三个方程得到 $$2=2B,B=1$$ 用第四个方程得到 $$D=1$$ 所以 $$\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}=\frac{2x+1}{x^2+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}$$ 最后求积分 $$\begin{aligned} \int\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}dx&=\int(\frac{2x+1}{x^2+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2})dx\\ &=\int(\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2})dx\\ &=\ln(x^2+1)+\tan^{-1}x-2\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+K \end{aligned}$$

例5 求 $$\int\frac{dx}{x(x^2+1)^2}$$ 解：被积分式子分解成 $$\frac{1}{x(x^2+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$$ 两边同乘 $x(x^2+1)^2$ $$\begin{aligned} 1&=A(x^2+1)^2+(Bx+C)x(x^2+1)+(Dx+E)x\\ &=A(x^4+2x^2+1)+B(x^4+x^2)+C(x^3+x)+Dx^2+Ex\\ &=(A+B)x^4+Cx^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A \end{aligned}$$ 对应系数相等 $$A+B=0,C=0,2A+B+D=0,C+E=0,A=1$$ 所以 $$A=1,B=-1,C=0,D=-1,E=0$$ 因此 $$\begin{aligned} \int\frac{dx}{x(x^2+1)^2}&=\int\bigg[\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{x}{(x^2+1)^2}\bigg]dx\\ &=\int\frac{dx}{x}-\int\frac{xdx}{x^2+1}-\int\frac{xdx}{(x^2+1)^2}\\ &=\int\frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}-\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2}\\ &=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|u|+\frac{1}{2u}+K\\ &=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+\frac{1}{2(x^2+1)}+K\\ &=\ln\frac{|x|}{x^2+1}+\frac{1}{2(x^2+1)}+K \end{aligned}$$

当 $f(x)$ 的最高幂次比 $g(x)$ 低且 $g(x)$ 只有幂次为 1 的线性因子 $$g(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$ 有快捷的方式将 $f(x)/g(x)$ 写作部分分数。

例6 求下面方程的待定系数 $A,B,C$ $$\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$$ 解：两边同时乘以 $x-1$ $$\frac{x^2+1}{(x-2)(x-3)}=A+\frac{B(x-1)}{x-2}+\frac{C(x-1)}{x-3}$$ 代入 $x=1$ 得到 $$\frac{1^2+1}{(-1)(-2)}=A$$ 这就得到了 $A=1$。同样的，两边同乘 $(x-2)$ 并代入 $x=2$ 可以得到 $$\frac{2^2+1}{(1)(-1)}=B$$ 所以 $B=-5$。最后两边同乘 $(x-3)$ 并代入 $x=3$ 得到 $$\frac{3^2+1}{(2)(1)}=C$$ 所以 $C=5$。

求解待定系数的其他方法

使用微分，同时也可以使用代入特定的 $x$ 值。

例7 求下面方程的待定系数 $A,B,C$ $$\frac{x-1}{(x+1)^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}$$ 解：消除分母得到 $$x-1=A(x+1)^2+B(x+1)+C$$ 将 $x=-1$ 代入得到 $C=-2$。两边微分得到 $$1=2A(x+1)+B$$ 再次将 $x=-1$ 代入得到 $B=1$。再次微分得到 $$0=2A$$ 所以 $A=0$。最后 $$\frac{x-1}{(x+1)^3}=\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{2}{(x+2)^3}$$

对于一些问题，可以尝试代入 $x=0,\pm 1\pm 2\pm$ 等值可以快速得到待定系数 $A,B,C$ 的值。

例8 求下面方程的待定系数 $A,B,C$ $$\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$$ 解：消除分母得到 $$x^2+1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$$ 将 $x=1,2,3$ 代入可以快速得到 $A,B,C$ 的值。 $$\begin{aligned} x=1:&&1^2+1&=A(-1)(-2)\\ &&A&=1\\ x=2:&&2^2+1&=B(1)(-1)\\ &&B&=-5\\ x=3:&&3^2+1&=C(2)(1)\\ &&C&=5 \end{aligned}$$ 所以 $$\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-1}-\frac{5}{x-2}+\frac{5}{x-3}$$