010 数列 Sequences

数列的表示

数列是给定顺序的数的列表 $$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$$ 每一个数称为数列的项（term）。整数 $n$ 称为索引或下标（index），表示 $a_n$ 在数列的位置。顺序是非常重要的，数列 $2,4,6,8,\cdots$ 和数列 $4,2,6,8,\cdots$ 是不同的数列。

无限数列（infinite sequence）可以看作一个函数，定义域是整数的集合。比如 $$2,4,6,8,\cdots,2n,\cdots$$ 就是把 1 映射到 2，2 映射到 4，通项公式是 $a_n=2n$。

我们可以任意改变下标。比如数列 $$12,14,16,18,\cdots$$ 可以看作 $a_n=10+2n$，其中 $n$ 从 1 开始。也可以简单地认为是 $b_n=2n$，不过 $n$ 从 6 开始。

数列通常用通项公式表示，比如 $$a_n=\sqrt{n},b_n=(-1)^{n+1}\frac{1}{n},c_n=\frac{n-1}{n},d_n=(-1)^{n+1}$$ 用列表表示是 $$\begin{aligned} \{a_n\}&=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\cdots,\sqrt{n},\cdots\}\\ \{b_n\}&=\{1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,(-1)^{n+1}\frac{1}{n},\cdots\}\\ \{c_n\}&=\{0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\cdots,\frac{n-1}{n},\cdots\}\\ \{d_n\}&=\{1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n+1},\cdots\} \end{aligned}$$ 有时，通项公式也可以写作 $$\{a_n\}=\{\sqrt{n}\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}=\{(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\}_{n=1}^\infty$$ 下图展示了两种使用图像表示数列的方式。左边图是在实数轴上标记 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$。右边的方式表达了函数的思想，输入是整数，这些点分别是 $(1,a_1),(2,a_2),\cdots,(n,a_n),\cdots$。

收敛和发散

有的数列随着 $n$ 的增大而趋于某个值。比如 $$\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots\}$$ 随着 $n$ 增大趋于 0，再比如 $$\{0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\cdots,\frac{n-1}{n},\cdots\}$$ 随着 $n$ 增大趋于 1。不过，像如下数列 $$\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\cdots,\sqrt{n},\cdots\}$$ 随着 $n$ 增大而无限大，像如下数列 $$\{1,-1,1,-1,1,\cdots,(-1)^{n+1},\cdots\}$$ 反复在 1 和 -1 之间变化，不会趋于某个值。

定义

数列 $\{a_n\}$ 收敛于值 $L$，如果给定任意 $\varepsilon>0$，都能找到一个 $N$ 使得 $$|a_n-L|<\varepsilon, n>N$$ 如果这样的数 $L$ 不存在，那么数列 $\{a_n\}$ 发散。

如果 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，写作 $\lim_{n\to\infty}a_n=L$，或者简写作 $a_n\to L$，并称 $L$ 是数列的极限。

如下图所示。

这个定义和 $x$ 趋于无穷时 $f(x)$ 的极限的定义非常类似，后续会使用这一联系来求数列的极限。

例1 证明

（a）$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

（b）$\lim_{n\to\infty}k=k,k \text{是常数}$

证明：（a）令 $\varepsilon>0$ 已给定。现在需要求存在这样的一个 $N$ 使得 $$\bigg|\frac{1}{n}-0\bigg|<\varepsilon,n>N$$ 那么 $1/n<\varepsilon$，或 $n>1/\varepsilon$。如果 $N$ 是比 $1/\varepsilon$ 更大的数，那么上述不等式在 $n>N$ 的条件都能成立。

（b）同样，不等式是 $$|k-k|<\varepsilon,n>N$$ 由于 $k-k=0$，那么任意正整数 $N$ 都能使上述不等式成立。

例2 证明数列 $$\{1,-1,1,-1,1,\cdots,(-1)^{n+1},\cdots\}$$ 是发散的。

证明：反证法。假定趋于某个数 $L$。给定 $\varepsilon=\frac{1}{2}$。由于 1 会反复出现，即任意 $N$ 之后还会出现 1，这就要求 1 距离 $L$ 小于 $\varepsilon=1/2$，即 $|L-1|<1/2$，所以 $1/2<L<3/2$。同样的，-1 也会反复出现，那么 $|L-(-1)|<1/2$，所以 $-3/2<L<-1/2$。但是同时满足这两个区间的 $L$ 不存在。

这个题目中给定任意 $\varepsilon<1$ 均可。 $$\tag*{$\blacksquare$}$$

数列 $\sqrt{n}$ 也发散，但是原因是不同的。随着 $n$ 的增加，值比任意给定数都要大。数列的行为描述为 $$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=\infty$$ 极限写作无穷，不是随着 $n$ 的增加说 $a_n$ 与 $\infty$ 之间的差距越来越小，也不是说数列趋于某个无穷大的值。仅仅表示随着 $n$ 的增加 $a_n$ 最终会比任意给定的数都要打。如下图（a）所示。数列也可以趋于负无穷，如下图（b）所示。

定义

如果每一个数 $M$ 都存在一个整数 $N$ 使得对所有 $n>N$ 都有 $a_n>M$，那么数列 $\{a_n\}$ 发散到正无穷。记作 $$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,a_n\to\infty$$ 类似地，对于每一个数 $m$ 都存在一个整数 $N$ 使得对所有 $n>M$ 都有 $a_n<m$，那么数列 $\{a_n\}$ 发散到负无穷。记作 $$\lim_{n\to\infty}a_n= -\infty,a_n\to -\infty$$

正如之前例 2 所示，有时发散数列并不趋于无穷。数列 $\{1,-2,3,-4,5,-6,7,\cdots\}$ 和 $\{1,0,2,0,3,0,\cdots\}$ 也是这样的例子。

数列的前面若干项并不影响数列的收敛性。

求数列的极限

由于数列就是定义域是正整数的函数，所以函数的极限相关的定理也有数列的版本。

定理 1

令 $\{a_n\},\{b_n\}$ 是实数数列，$A,B$ 是实数。如果 $\lim_{n\to\infty}a_n=A,\lim_{n\to\infty}b_n=B$，那么 $$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$$ $$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B$$ $$\lim_{n\to\infty}(k\cdot b_n)=k\cdot B$$ $$\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}$$

证明和 2.2 节定理 1 类似，不再赘述。

例3 结合定理 1 和例 1 我们有

（a） $$\lim_{n\to\infty}(-\frac{1}{n})=-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$ （b） $$\lim_{n\to\infty}(\frac{n-1}{n})=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})=1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=1$$ （c） $$\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2}=5\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$ （d） $$\lim_{n\to\infty}\frac{4-7n^6}{n^6+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{(4/n^6-7)}{1+3/n^6}=-7$$ $$\tag*{$\blacksquare$}$$

使用定理 1 要小心。比如 $\{a_n+b_n\}$ 有极限不意味着 $\{a_n\},\{b_n\}$ 有极限，举个具体例子，$\{a_n\}=\{1,2,3,4,\cdots\}$ 和 $\{b_n\}=\{-1,-2,-3,-4,\cdots\}$ 都是发散的，但是和 $\{a_n+b_n\}=\{0,0,0,0,\cdots\}$ 收敛于零。

定理 1 的一个推论是发散数列 $\{a_n\}$ 的非零倍数也是发散的。反证法。假定对某些 $c$ $\{ca_n\}$ 收敛，那么令 $k=1/c$，应用乘法规则，得到 $$\bigg\{\frac{1}{c}\cdot ca_n\bigg\}=\{a_n\}$$ $\{ca_n\}$ 不能收敛，否则的话 $\{a_n\}$ 是收敛的。

定理 2 数列的夹逼定理

令 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 是实数数列。如果对于所有 $n>N$ 都有 $a_n\leq b_n\leq c_n$，且 $\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} c_n=L$，那么 $\lim_{n\to\infty} b_n=L$。

定理 2 的一个直接推论是如果 $|b_n|\leq c_n$，且 $c_n\to 0$，由于 $-c_n\leq b_n\leq c_n$，所以 $b_n\to 0$。

例4 由 $1/n\to 0$，可知

（a）因为 $$-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos n}{n}\leq\frac{1}{n}$$ 那么 $$\frac{\cos n}{n}\to 0$$ （b）因为 $$0\leq\frac{1}{2^n}\leq\frac{1}{n}$$ 所以 $$\frac{1}{2^n}\to 0$$ （c）因为 $$-\frac{1}{n}\leq(-1)^n\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n}$$ 所以 $$(-1)^n\frac{1}{n}\to 0$$ （d）因为 $$-|a_n|\leq a_n\leq |a_n|$$ 所以如果 $|a_n|\to 0$ 那么 $$a_n\to 0$$

定理 3 数列的连续函数定理

令 $\{a_n\}$ 是实数数列。如果 $a_n\to L$ 且 $f$ 是一个在 $L$ 处连续在所有 $a_n$ 上均有定义的函数，那么 $f(a_n)\to f(L)$

例5 证明 $$\sqrt{\frac{n+1}{n}}\to 1$$ 证明：我们知道 $(n+1)/n\to 1$，取 $f(x)=\sqrt{x},L=1$，根据定理 3 有$\sqrt{(n+1)/n}\to \sqrt{1}=1$。

例6 数列 $\{1/n\}$ 趋于零。取 $a_n=1/n,f(x)=2^x,L=0$，根据定理 3 有 $2^{1/n}=f(1/n)\to f(L)=2^0=1$。所以数列 $\{2^{1/n}\}$ 收敛于 1。如下图所示。

使用洛必达法则

定理 4

假设 $\{a_n\}$ 是实数数列，$f(x)$ 在所有 $x\geq n_0$ 上都有定义，且 $a_n=f(n)$，那么 $$\lim_{n\to\infty}a_n=L,\text{ whenever }\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$

证明：假定 $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$，那么给定每一个数 $\varepsilon$ 都存在一个数 $M$ 满足 $$|f(x)-L|<\varepsilon,x>M$$ 令 $N$ 大于 $M$ 且大于等于 $n_0$。由于 $a_n=f(n)$，那么对于所有 $n>N$ 都有 $$|a_n-L|=|f(n)-L|<\varepsilon$$ $$\tag*{$\blacksquare$}$$

例7 求证 $$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0$$ 证明：函数 $\frac{\ln x}{x}$ 在 $x\geq 1$ 上有定义，并且整数对应的值就是给定数列的项。根据定理4，$\lim_{n\to\infty}(\ln n)/n$ 就等于 $\lim_{x\to\infty}(\ln x)/x$，如果后者存在的话。这是无穷比无穷型，利用洛必达法则 $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\frac{0}{1}=0$$ 那么 $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0$。 $$\tag*{$\blacksquare$}$$

一般情况，我们将 $n$ 视为连续的实数变量且对 $n$ 可以直接微分，这样不必像上例这样在数列和函数之间反复转换。

例8 数列 $$a_n=(\frac{n+1}{n-1})^n$$ 收敛吗？如果收敛，求极限。

解：这是 $1^\infty$ 型极限。可以利用对数法则转换成 $\infty\cdot 0$ 型。 $$\ln a_n=\ln(\frac{n+1}{n-1})^n=n\ln(\frac{n+1}{n-1})$$ 那么 $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\ln a_n&=\lim_{n\to\infty}n\ln(\frac{n+1}{n-1})\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(\frac{n+1}{n-1})}{1/n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{-2/(n^2-1)}{-1/n^2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{-2n^2}{n^2-1}\\ &=2 \end{aligned}$$ 所以 $a_n\to 2$ 且 $f(x)=x$ 是连续的。根据定理 3 得到 $$a_n=e^{\ln a_n}\to e^2$$

常见数列极限

定理 5

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0$$ $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$ $$\lim_{n\to\infty}x^{1/n}=1,x>0$$ $$\lim_{n\to\infty}x^n=0,|x|<1$$ $$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0$$

证明：第一个式子就是例7。

第二个式子的 $a_n=n^{1/n}$，那么 $\ln a_n=\frac{\ln n}{n}$，根据第一个式子 $\ln a_n$ 的极限是 0，所以 $a_n$ 的极限是 1。

第三个式子和第二个式子类似，$\ln a_n=\frac{\ln x}{n}$，$1/n$ 的极限是 0，乘以常数 $\ln x$ 还是 0，所以 $\ln a_n$ 的极限是 0，所以 $a_n$ 的极限是 1。

第四个式子。我们需要证明对于任意一个 $\varepsilon$，都存在一个 $N$ 使得 $|x^n|<\varepsilon,n>N$。由于 $\varepsilon^{1/n}\to 1$，又因为 $|x|<1|$，所以存在 $N$ 使得 $\varepsilon^{1/N}>|x|$，因此 $$|x^N|=|x|^N<\varepsilon$$ 这就是我们要寻找的 $N$，因为 $|x|<1$，那么 $$|x^n|<|x^N|<\varepsilon$$

第五个式子。令 $$a_n=(1+\frac{x}{n})^n$$ 那么 $$\ln a_n=\ln (1+\frac{x}{n})^n=n\ln(1+\frac{x}{n})\to x$$ 最后一步应用洛必达法则如下 $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\ln(1+\frac{x}{n})&=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln (1+x/n)}{1/n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{1+x/n}-\frac{x}{n^2}}{-1/n^2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{x}{1+x/n}\\ &=x \end{aligned}$$ 应用定理 3，$f(x)=e^x$，得到结论。

最后一个式子。先证明 $$\frac{|x|^n}{n!}\to 0$$ 选择一个正数 $M>|x|$，那么 $|x|/M<1$，根据第四个式子，$(|x|<M)^n\to 0$，那么 $$\begin{aligned} \frac{|x|^n}{n!}&=\frac{|x|^n}{1\cdot 2\cdots M\cdot (M+1)\cdots n}\\ &\leq\frac{|x|^n}{M!M^{n-M}}\\ &=\frac{|x|^nM^M}{M!M^n}\\ &=\frac{M^M}{M!}(\frac{|x|}{M})^n \end{aligned}$$ 注意最后一个式子的第一项是常量，不随 $n$ 增大而改变，第二项 $(\frac{|x|}{M})^n\to 0$。根据夹逼定理，$\frac{|x|^n}{n!}\to 0$。 回到要证明的式子 $\frac{x^n}{n!}$ 满足下面的式子 $$-\frac{|x|^n}{n!}\leq\frac{x^n}{n!}\leq\frac{|x|^n}{n!}$$ 再次根据夹逼定理，得到结论。

$$\tag*{$\blacksquare$}$$

例9 应用定理 5

（a） $$\frac{\ln (n^2)}{n}=\frac{2\ln }{n}\to 2\cdot 0=0$$ （b） $$\sqrt[n]{n^2}=n^{2/n}=(n^{1/n})^2\to 1^2=1$$ （c） $$\sqrt[n]{3n}=3^{1/n}(n^{1/n})\to 1\cdot 1=1$$ （d） $$(-\frac{1}{2})^n\to 0$$ （e） $$(\frac{n-2}{n})^2=(1+\frac{-2}{n})^n\to e^{-n}$$ （f） $$\frac{100^n}{n!}\to 0$$

递归定义

目前为止，我们直接定义 $a_n$，有些数列使用递归的方式来定义 * 给出初始项的值 * 一个规则，即递归公式，用于计算后面的项

例10

（1）$a_1,a_n=a_{n-1}+1,n>1$ 定义了正整数数列 $1,2,3,4,\cdots,n,\cdots$。

（2）$a_1=1,a_n=n\cdot a_{n-1},n>1$ 定义了阶乘数列 $1,2,6,24,\cdots,n!,\cdots$。

（3）$a_1,a_2=1,a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n>2$ 定义了斐波那契数列 $1,1,2,3,5,\cdots$。

（4）根据牛顿法定义了数列 $x_0=1,x_{n+1}=x_n-[(\sin x_n-x_n^2)/(\cos x_n-2x_n)]n>0$，其收敛于方程 $\sin x-x^2=0$ 的一个解。

有界单调数列

定义

如果存在一个数 $M$ 使得对所有 $n$ 都有 $a_n\leq M$，那么数列 $\{a_n\}$ 有上界。数 $M$ 就是上界。如果 $M$ 是上界，且没有比 $M$ 小的上界，那么$M$ 是最小上界。

如果存在一个数 $m$ 使得对所有 $n$ 都有 $a_n\geq m$，那么数列 $\{a_n\}$ 有下界。数 $m$ 就是下界。如果 $m$ 是下界，且没有比 $m$ 大的下界，那么$m$ 是最大下界。

如果 $\{a_n\}$ 既有上界又有下界，则称数列 $\{a_n\}$ 有界。反之 $\{a_n\}$ 没有上界也没有下界，则称数列 $\{a_n\}$ 是无界数列。

例11

（a）数列 $1,2,3,\cdots,n,\cdots$ 没有上界，因为它最终会超过任意数 $M$。每一个小于等于 1 的数都是其下界，其中 $m=1$ 是最大下界。

（b）数列 $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\cdots,\frac{n}{n+1},\cdots$ 的最小上界 $M=1$，最大下界 $m=\frac{1}{2}$。

$$\tag*{$\blacksquare$}$$

如果 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，那么存在一个数 $N$，如果 $n>N$ 有 $|a_n-L|<1$，因此 $$L-1<a_n<L+1,n>N$$ 如果 $M$ 大于 $L+1$ 和有限多项 $a_1,a_2,\cdots,a_N$，那么对于任意 $n$ 都有 $a_n\leq M$，所以 $M$ 是 $\{a_n\}$ 的上界。类似地，如果 $m$ 小于 $L-1$ 和有限多项 $a_1,a_2,\cdots,a_N$，那么 $m$ 是 $\{a_n\}$ 的下界。所以所有的收敛数列都是有限的。

收敛数列都有界，但是有界的数列也有可能发散。一个例子就是例 2 中谈到的 $\{(-1)^{n+1}\}$，各个项在上界和下界之间来回跳跃，如下图所示。

定义

一个数列 $\{a_n\}$ 对于所有 $n$ 都有 $a_n\leq a_{n+1}$，那么其是非递减的；反之如果有 $a_n\geq a_{n+1}$，那么其是非递增的。如果一个数列非递减或非递增，那么该数列是单调的。

例12

（a）$1,2,3,\cdots,n,\cdots$ 是非递减数列。

（b）$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\cdots,\frac{n}{n+1},\cdots$ 是非递减数列。

（c）$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots,\frac{1}{2^n},\cdots$ 是非递增数列。

（d）$3,3,3,\cdots,3,\cdots$ 既是非递减数列，也是非递增数列。

$$\tag*{$\blacksquare$}$$

如果一个非递减数列有上界，那么总有一个最小上界。反之，如果一个非递增数列有下界，那么总一个最大下界。下面要证明如果 $L$ 是一个非递减数列的最小上界，或者是一个非递增数列的最大下界，那么数列收敛于 $L$。

定理 6

如果一个数列 $\{a_n\}$ 有界且是单调的，那么必定收敛。

证明：假设 $\{a_n\}$ 是非递减的且 $L$ 是最小上界，我们可以画出点 $(1,a_1),(2,a_2),\cdots,(n,a_n),\cdots$。如果 $M$ 是上界，那么所有点都在 $y=M$ 之下，直线 $y=L$ 是这些直线中最低的一个。没有点在 $y=L$ 之上。

不过有点在 $y=L-\varepsilon$ 之上（因为 $L-\varepsilon$ 不是上界）。数列收敛于 $L$ 是因为 * 对于所有 $n$ 都有 $a_n\leq L$ * 给定任意 $\varepsilon$，存在 $N$ 使得 $a_N>L-\varepsilon$

事实上，数列 $\{a_n\}$ 非递减告诉我们 $$a_n\geq a_N>L-\varepsilon,n>N$$ 非递增且有最大下界的数列证明类似。

$$\tag*{$\blacksquare$}$$

定理 6 并没有说收敛数列是单调的。比如数列 $\{(-1)^{n+1}/n\}$ 收敛且有界，但是不单调，值在正负之间反复变化。定理是说非递减数列有上界的话就是收敛的，否则发散于正无穷。