080 泰勒级数和麦克劳林级数 Taylor and Maclaurin Series

级数表示

上一小节中定理 21 告诉是说在收敛区间 $I$ 上幂级数的和是一个连续函数且有任意阶导数。反过来，如果一个函数在某个区间上有任意阶段，能写成幂级数的形式吗？如果能，系数是多少？

假定 $f(x)$ 在 $x=a$ 处能写作幂级数形式 $$\begin{aligned} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n\\ &=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^n+\cdots \end{aligned}$$ 且收敛半径是正数。在收敛区间 $I$ 上逐项微分 $$\begin{aligned} f'(x)&=a_1+2a_2(x-a)+3a_3(x-a)^2+\cdots+na_n(x-a)^{n-1}+\cdots\\ f''(x)&=2a_2+3\cdot 2a_3(x-a)+4\cdot 3a_4(x-a)^2+\cdots\\ f'''(x)&=3\cdot 2\cdot 1a_3+4\cdot 3\cdot 2a_4(x-a)+5\cdot 4\cdot 3a_5(x-2)^2+\cdots \end{aligned}$$ $n$ 阶导数是 $$f^{(n)}(x)=n!a_n+\cdots(x-a)+\cdots$$ 这些方程对 $x=a$ 都成立，所以 $$f'(a)=a_1,f''(a)=2\cdot 1a_2,f'''(a)=3\cdot 2\cdot 1a_3$$ 一般地 $$f^{(n)}(a)=n!a_n$$ 所以幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ 的系数是 $$a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$ 所以如果 $f$ 能表示成幂级数，那么幂级数必定是 $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$$ 对任意一个在包含 $x=a$ 的收敛区间上有任意阶导数的函数 $f$，写成如上形式，在这个区间一定收敛到函数 $f$ 吗？对于有些函数而言，答案是肯定的，但是对有些函数而言就未必了（比如例 4）。

泰勒级数和麦克劳林级数

定义

令 $f$ 在包含 $a$ 点的区间上有任意阶导数，那么在 $x=a$ 处函数 $f$ 的泰勒级数是 $$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)(a)}}{k!}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$$ 麦克劳林级数是 $f$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数 $$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)(0)}}{k!}=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots$$

例1 求 $f(x)=1/x$ 在 $a=2$ 处的泰勒级数。在哪些地方收敛到 $1/x$？

解：为了求 $f(2),f'(2),f''(2),\cdots$，先求 $n$ 阶导数 $$\begin{aligned} f(x)&=x^{-1}\\ f'(x)&=-x^{-2}\\ f''(x)&=2!x^{-3}\\ \vdots\\ f^{(n)}(x)&=(-1)^nn!x^{-(n+1)} \end{aligned}$$ 所以 $$\begin{aligned} f(2)&=2x^{-1}=\frac{1}{2}\\ f'(2)&=-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}\\ \frac{f''(2)}{2!}&=2^{-3}=\frac{1}{2^3}\\ \vdots\\ \frac{f^{(n)}(2)}{n!}&=\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \end{aligned}$$ 所以泰勒级数是 $$\frac{1}{2}-\frac{(x-2)}{2^2}+\frac{(x-2)^2}{2^3}-\cdots+(-1)^n\frac{(x-2)^n}{2^{n+1}}+\cdots$$ 这个一个首项是 $1/2$ 公比 $r=-(x-2)/2$ 的等比级数，收敛区间是 $|x-2|<2$，收敛到 $$\frac{1/2}{1-r}=\frac{1/2}{1+\frac{x-2}{2}}=\frac{1}{x}$$ 所以在区间 $|x-2|<2$，即 $0<x<4$ 上，$f(x)=1/x$ 在 $a=2$ 处的泰勒级数收敛到 $1/x$。

泰勒多项式

可微函数 $f$ 在点 $a$ 的线性近似是度为 1 的多项式 $$P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$ 如果函数在 $a$ 点有更高阶导数，那么有高阶的多项式近似 $f$。

定义

令 $f$ 在包含 $a$ 的某个区间上有 $N$ 阶导。对任意从 0 到 $N$ 的 $n$，$f$ 在 $x=a$ 处生成的 $n$ 阶泰勒多项式是 $$P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

这里使用的 $n$ 阶而不是度为 $n$，因为 $f^{(n)}(a)$ 可能为零。$f(x)=\cos x$ 在 $x=0$ 处的前两个多项式是 $P_0(0)=1,P_1(0)=1$，一阶泰勒多项式的度是 0。

就像 $x=a$ 处 $f$ 的线性化是 $f$ 在 $x=a$ 处最好的线性近似一样，泰勒多项式是对应度上最好的多项式近似。

例2 求 $f(x)=e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数和泰勒多项式。

解：对任意 $n=1,2,\cdots$，$f^{(n)}(x)=e^x,f^{(n)}(0)=1$。所以 $x=0$ 的 $f$ 的泰勒级数是 $$\begin{aligned} f(0)+f'(0)x&+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots\\ &=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \end{aligned}$$ 这也是 $e^x$ 的麦克劳林级数。下一节会证明对于所有 $x$ 这个级数都收敛到 $e^x$。

$x=0$ 处 $n$ 阶泰勒多项式是 $$P_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$$

例3 求 $f(x)=\cos x$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数和泰勒多项式。

解：求余弦函数的导数 $$\begin{aligned} f(x)&=\cos x&&&f'(x)&=-\sin x\\ f''(x)&=-\cos x&&&f^{(3)}(x)&=\sin x\\ &\vdots&&&&\vdots\\ f^{(2n)}(x)&=(-1)^n\cos x&&&f^{(2n+1)}(x)&=(-1)^{n+1}\sin x \end{aligned}$$ 因为 $$\cos 0=1,\sin 0=0$$ 代入 $$f^{(2n)}(0)=(-1)^n,f^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n+1}=0$$ 那么 $f$ 在 $x=0$ 的泰勒级数是 $$\begin{aligned} f(0)+f'(0)x&+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots\\ &=1+0\cdots x-\frac{x^2}{2}+0\cdot x^3+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} \end{aligned}$$ 这也是 $\cos x$ 的麦克劳林级数。只有 $x$ 的偶数次幂出现在了级数中，这和余弦函数是偶函数一致。下一节会证明对于所有 $x$ 这个级数都收敛到 $\cos x$。

因为 $f^{(2n+1)}(0)=0$，所以 $2n$ 阶和 $2n+1$ 阶的泰勒多项式是一样的 $$P_{2n}(x)=P_{2n+1}(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

下图只展示了函数的右半部分，左半部分对称。

例4 可以证明（不容易） $$f(x)=\begin{cases} 0,&&x=0\\ e^{-1/x^2},&&x\neq 0 \end{cases}$$ 在 $x=0$ 处有任意阶导数且对于所有的 $n$ 都有 $f^{(n)}(0)=0$。所以 $f$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数是 $$\begin{aligned} f(0)+f'(0)x&+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots\\ &=0+0\cdot x+0\cdot x^2+\cdots+0\cdot x^n+\cdots\\ &=0 \end{aligned}$$ 也即是说，只在 $x=0$ 处收敛到 $f(x)=0$。这是一个泰勒级数在收敛区间上不收敛到 $f(x)$ 的例子。