110 附录 Appendix

Raabe's (Gauss's) Test

如果 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是一个正数级数，且存在常数 $C,K,N$ 使得 $$\frac{u_n}{u_{n+1}}=1+\frac{C}{n}+\frac{f(n)}{n^2}$$ 其中当 $n>N$ 时，有 $|f(n)|<K$，如果 $C>1$，那么级数收敛，如果 $C\leq 1$，级数发散。

这个定理是比值测试的拓展。

比如级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$，应用高斯测试 $$\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n+1)^2}{n^2}=1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}$$ 我们取常数 $C=2,N=1,K>1$ 满足条件。因为 $C>1$，所以 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ 收敛。

又比如级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$， $$\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}+\frac{0}{n^2}$$ 此时 $C=1\leq 1$，所以级数发散。

Nicole Oresme's Theorem

$$1+\frac{1}{2}\cdots 2+\frac{1}{4}\cdots 3+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}+\cdots=4$$

证明：对等式 $$\frac{1}{1-x}=1+\sum_{n=1}^\infty x^n$$ 两边求导 $$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$$ 令 $x=1/2$ $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=1+\frac{1}{2}\cdots 2+\frac{1}{4}\cdots 3+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}+\cdots=\frac{1}{(1-1/2)^2}=4$$