010 三维坐标系 Three-Dimensional Coordinate Systems
为了标记空间的某点，我们使用三个相互垂直的坐标轴，如下图所示。
这是右手坐标系（right-handed coordinate frame），当四指从 轴弯向 轴时，大拇指指向 轴方向。当从 轴正半轴向下望时，从 轴开始逆时针绕着 轴转的角的角度是正数。左手坐标系（left-handed
coordinate frame）刚好相反。
笛卡尔坐标系中，空间中某点 的坐标是 ，各个值是过 点且与各个轴垂直的平面与各个轴相交点的坐标值。空间笛卡尔坐标系也称为直角坐标系（rectangular coordinates），因为各个轴相互垂直，夹角是直角。 轴上的点 轴的值是零，即 。其他轴也类似，坐标分别是 。
由坐标轴确定的 平面的标准方程是 ， 平面的方程是 ， 平面的方程是 。它们相交于原点（origin）O$。
三个坐标平面（coordinate planes）把空间分成了八个象限（octants，八分仪），三个坐标都是正数的象限称为第一象限（first octant），其他七个象限没有约定俗成的名字。
在垂直于 轴的平面内的点 轴坐标都是一样的， 轴对应值可以是任意值。其他轴也类似。平面 是通过 轴上 这一点且与 轴垂直的平面，平面 也类似。如下图所示。三个平面的交点是 。
平面 的交线平行于 轴，使用一对方程 描述这条直线。点 在直线上等价于 。平面 和 类似。
例1 解释如下方程或不等式。
（1） 平面之上的半个空间。
（2） 与 轴垂直且交点是 的平main。
（3） 平面的第二象限。
（4） 第一象限。
（5） 平面 之间的厚板。
（6） 由平面 相交形成的直线。通过点 且与 轴平行的直线。
例2 什么样的点 满足 解：点位于平面 上，且形成了圆 。可以点的集合是在平面 上的圆 ，或者是圆 。如下图所示。
空间中的距离和球体
点 到点 的距离是
证明：构造一个立方体， 是对顶点，各个面平行于坐标平面，如下图所示。
点 是立方体的两个顶点，那么立方体的三边长分别是 又因为角 和角 都是直角，所以 那么 因此
例3 点 和点 的距离是
通过距离公式，我们可以描绘空间中的球体。如下图所示。一个点 位于以 为球心以 为半径的球上，那么 ，因此
球心是 半径是 的球体标准方程是
例4 求球体 的球心和半径。
解：通过代数运算，将其改写成标准形式。 所以半径 球心是
例5 从几何角度解释如下不等式。
（1） 球体 的内部。
（2） 实心球 ，或者说球体 及其内部。
（3） 球体 的外部。
（4） 球体 下半部分，位于 平面以下。
就像极坐标系也可以描述 平面上的点一样，也有其他坐标系可以替换这里的笛卡尔坐标系，14.7 节将给出两种形式。