030 点积 The Dot Product
如果力 作用于一个运动中的粒子，我们需要知道力在运动方向上的大小。如果速度 平行于力 作用点的切线，那么我们想知道的就是在 方向上力 的大小。如下图所示，大小就是 ，其中 是两个矢量 的夹角。
这一节主要讲解如何通过矢量分量直接计算夹角。关键部分就是矢量的点积（dot product），也称为内积或标量积（inner product, scalar product）。
矢量夹角
将两个矢量 的起点重合，形成了一个夹角 ，其中 。
如果两个矢量不在同一条直线上，那么 位于两个矢量确定的平面上。如果在同一条直线上的话，方向一致则夹角为零，方向相反则夹角为 。角 是矢量 的夹角。
定理 1 —— 两个矢量的夹角
两个矢量 的夹角 是
在证明之前，我们先看下分子上的式子 ，它是矢量 相应分量的积的和。
定义
矢量 的点积（
dot product） 是标量
例1
（a） （b）
两个二维矢量的点积类似。
证明：如上图所示，根据 1.3 节余弦定理有 由于 ，其分量是 ，那么 因此 因此 由于 ，有
点积和夹角
非零矢量 的夹角 两个矢量 的点积
例2 求矢量 的夹角。
解：
如果 ， 是锐角，如果 ， 是钝角。
例3 三角形顶点分别是 ，求下图中的角 。
解：角 是矢量 的夹角。这两个矢量的分量形式是 求点积和它们的长度 代入公式
正交矢量
如果两个非零矢量 的夹角是 ，那么它们是垂直的。因为 所以 。反过来也是成立的，两个非零矢量 ，那么 。下面的定义也适用于其中一个或者两个矢量都是零矢量的情况。
定义
如果 ，那么矢量 是正交的。
例4 使用点积可以确定两个矢量是否正交。
（a）矢量 的点积 ，所以两个矢量正交。
（b）矢量 和矢量 的点积是 ，所以两个矢量正交。
（c） 和任意矢量 正交，因为
点积属性和矢量投影
点积的属性
是矢量， 是标量，那么
证明（部分）：使用定义可以很容易证明这些属性。比如下面证明第一个和第三个。
回到矢量投影的问题。矢量 在矢量 方向上的矢量投影（vector projection）是矢量 ，点 是 在 的垂足。
矢量的投影记作
如果 表示力，那么投影 表示在速度 方向上的有效力。
如果 的夹角 是锐角，那么 的长度是 ，方向是 。如下图所示。如果夹角是钝角，，那么长度是 ，方向是 。
称为 在矢量 方向上的标量分量。
不管是投影，还是 方向上的标量分量，都只和 的方向相关和其长度无关。
例5 求矢量 在矢量 上的投影和标量分量。
解：
例6 求 在 上的投影和标量分量。
解：
例7 验证矢量 与投影矢量 正交。
证明：矢量 与矢量 平行，那么证明 与矢量 正交即可。
上个例子说明 与投影矢量 （即 的方向），那么 可以写成平行于 和垂直于 的两个部分。
功
第六章我们给出了恒定力 移动一个物体距离为 ，所做的功是 。这么公式仅在力与物体移动方向一直的情况下成立。如果力 移动物体，位移是 ，那么做的功是 在 方向上的分量乘以距离。如果 与 的夹角是 ，那么
定义
恒定力 通过位移 所做的功是
例8 如果 ，力 从 到 做的功是
第十五章会讨论更一般的做功的场景——变力沿着任意路径做功。