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060 圆柱体和二次曲面 Cylinders and Quadric Surfaces

柱面

沿着平面上给定的曲线移动平行于给定直线的直线,生成的曲线称为柱面(cylinder)。平面上的曲线称为柱面的生成曲线(generating curve)。如下图所示。

立体几何中,柱面(cylinder)指的是圆柱面或圆柱体(circular cylinder),生成曲线是圆,但这里的生成曲线可以是任意曲线。比如下面的例子中,生成曲线是抛物线。

例1 求平行于 z 轴且经过抛物线 y=x2,z=0 的柱面方程。

P0(x0,x20,0) 位于 xy 平面的抛物线 y=x2 上。对于任意 z,点 Q0(x0,x20,z) 在柱面上,因为它在平行于 z 轴且过点 P0 的直线 x=x0,y=x20 上。反过来,y 坐标是其 x 坐标的平方的任意点 Q0(x0,x20,z) 在柱面上。

因此忽略 z 的值,平面上的点满足方程 y=x2。因此这就是所求柱面的方程。我们也称这个柱面是“柱面 y=x2”。

任意曲线 f(x,y)=c 定义了一个平行于 z 轴的柱面,其方程也是 f(x,y)=c。比如方程 x2+y2=1 定义了一个平行于 z 轴的圆柱面。

类似的,g(x,z)=c 定义了一个平行于 y 轴的柱面,其方程也是 f(x,z)=c。任意曲线 h(x,y)=c 定义了一个平行于 z 轴的柱面,其方程也是 h(x,y)=c。柱面的轴不必平行于坐标轴。

二次曲面

x,y,z 的二阶方程在空间中的曲面称为二次曲面(quadric surface)。首先,我们聚焦于方程如下的二次曲面。 Ax2+By2+Cz2+Dz=E 其中 A,B,C,D,E 是常数。基本的二次曲线有椭圆体(ellipsoids)、抛物面(paraboloids)、托圆锥面(elliptical cones)和双曲面(hyperboloids)。球是椭圆体的特殊形式。

例2 椭圆体 x2a2+y2b2+z2c2=1 在坐标轴上的交点是 (±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)。位于立方体 |x|a,|y|b,|z|c 之内。关于任意坐标平面对称,因为方程中的变量都是平方。

坐标平面与椭圆体相交的曲线是椭圆。比如 x2a2+y2b2=1,z=0 与平面 z=z0,|z0|<c 的交线也是椭圆 x2a2(1(z0/c)2)+y2b2(1(z0/c)2)=1 如果半轴 a,b,c 中的任意两个相等,那么曲面是旋转椭圆体(ellipsoid of revolution)。如果三个都相等,是球面。

例3 双曲抛物面(hyperbolic paraboloidy2b2x2a2=zc,c>0 关于平面 x=0y=0 对称。

x=0 的交线是抛物线 z=cb2y2y=0 的交线是抛物线 z=ca2x2x=0 平面内,抛物线开口向上,在 y=0 平面内,抛物线开口向下。

如果用 z=z0>0 截双曲抛物面,相交部分是双曲线 y2b2x2a2=z0c 焦轴平行于 y 轴,顶点在抛物线 (1) 上。如果 z0 是负数,那么焦轴平行于 x 轴,顶点在抛物线 (2) 上。

在原点附近,曲面性质类似于马鞍或者山口。如果沿着 yz 平面看,原点是最小值,但是沿着 xz 平面看,原点是最大值。这样的点称为鞍点(saddle point)。

下面六个图二次曲面的六种基本类型。每个曲面都关于 z 轴对称,适当修改方程,也可以关于 x 轴或 y 轴对称。

椭圆体

抛物面

椭圆锥面

单叶双曲面

双叶双曲面

双曲抛物面

一般二次曲面

上面的二次曲面关于 x 轴、y 轴或 z 轴对称。一般的二次曲线方程如下 Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 其中 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J 都是常量。这些方程的图像类似于上面六个曲面,但是会沿着 x,y,z 轴平移或者绕着坐标轴旋转。Gx,Hy,Iz 使得图像平移。

例4 下面的方程 x2+y2+4z22x+4y+1=0 是什么曲面。

解:改写成平方项 x2+y2+4z22x+4y+1=(x1)21+(y2)24+4z2+1=(x1)2+(y2)2+4z24 因此,原始方程可以写作 (x1)24+(y+2)24+z21=1 这是一个椭圆体,半长轴长度分别是 2,2 和 1,中心点位于 (1,2,0)