040 曲线的曲率和法向矢量 Curvature and Normal Vectors of a Curve
曲线的曲率
一个粒子沿着平面的光滑曲线运动。随着曲线的弯曲, 随之变化。因为 是单位矢量,长度不变,随着曲线的变化只有方向在变化。每运动单位长度, 的变化率称为曲率(curvature
),使用希腊字母 表示。
定义
如果 是光滑曲线的单位速度矢量,那么曲率方程是
如果 很大,在点 时 转弯比较急,曲率大,如果 接近于零, 在 点转弯比较慢,曲率小。
如果 是曲线方程, 是弧长参数,那么可以如下计算曲率
曲率计算公式
如果 是光滑曲线,那么曲率是标量函数 其中 是单位切矢量。
例1 直线的参数方程是 ,其中 是常矢量。因此 ,单位切矢量 是常矢量,总是指向相同的方向,如下图所示。对于任意时刻 ,直线的曲率是零
例2 求圆的曲率。半径为 的参数方程是 那么 那么 因此,对于任意 时刻,圆的曲率是
在所有与单位切矢量 垂直的矢量中,有一个比较特殊,它指向曲线弯曲的方向。由于 长度不变,那么 与 垂直(参见 12.1 中关于固定长度的矢量函数)。因此,用 除以长度 ,得到与 垂直的单位矢量 。
定义
在 点处,平面上的曲线的主单位法矢量(
principal unit normal vector
)
矢量 指向 变化的方向。如果 顺时针变化, 指向右侧,反之 逆时针转向, 指向左侧。综上,主单位法矢量 指向曲线凹处。
如果光滑曲线参数方程是 ,弧长参数 ,使用链式法则计算 : 最后一步的原因是 。
这个公式使得我们无需先计算 和 就能找到 。
计算 的公式
如果 是光滑曲线,那么主单位法矢量是 其中 是单位切矢量。
例3 求圆周运动 的 。
解:首先求 接着计算 显然,,验证了两者是正交的。另外还可以注意到, 始终指向圆周运动 的圆心。
平面曲线的曲率圆
曲线的一点 ,此处 ,那么曲率圆(circle of curvature
)或密切圆(osculating circle
)满足
- 在点 处与曲线相切
- 在点 处的曲率与曲线一致
- 圆心位于曲线凹的方向
点 处的曲率半径(radius of curvature
)是密切圆的半径,根据之前的推导半径是
曲线在点 处的曲率中心(center of curvature
)是曲率圆的圆心。
例4 求抛物线 在原点处的密切圆。
解:令 得到参数方程 使用公式 ,需要先计算单位切矢量 。 那么 求导 因此 因此曲率半径是 。在原点处 ,,所以 ,与 轴同方向。因此圆心是 。密切圆方程是
密切圆如上图所示。在原点附近,密切圆是比原点处的切线 更好的近似。
空间中的曲率和法矢量
上述所有的推导带上第三项 ,或者说是 分量依旧成立。因此,空间中曲率的定义是 矢量 与 正交。主单位法矢量定义是
例5 求螺旋线 的曲率。
解:从速度矢量 求得 。 使用公式 如果 固定,随着 的增长曲率在减小;固定 ,随着 的减小,曲率也减小。
如果 ,螺旋线退化成圆,曲率是 ,圆的半径是 ,符合预期。如果 ,螺旋线退化成了 轴,曲率为零,也符合预期。
例6 求上个例子中螺旋线的 。
解:根据上个例子有 那么 所以 因此, 平行于 平面,且始终指向 轴。