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040 曲线的曲率和法向矢量 Curvature and Normal Vectors of a Curve

曲线的曲率

一个粒子沿着平面的光滑曲线运动。随着曲线的弯曲, 随之变化。因为 是单位矢量,长度不变,随着曲线的变化只有方向在变化。每运动单位长度, 的变化率称为曲率(curvature),使用希腊字母 表示。

定义

如果 是光滑曲线的单位速度矢量,那么曲率方程是

如果 很大,在点 转弯比较急,曲率大,如果 接近于零, 点转弯比较慢,曲率小。

如果 是曲线方程, 是弧长参数,那么可以如下计算曲率

曲率计算公式

如果 是光滑曲线,那么曲率是标量函数 其中 是单位切矢量。

例1 直线的参数方程是 ,其中 是常矢量。因此 ,单位切矢量 是常矢量,总是指向相同的方向,如下图所示。对于任意时刻 ,直线的曲率是零

例2 求圆的曲率。半径为 的参数方程是 那么 那么 因此,对于任意 时刻,圆的曲率是

在所有与单位切矢量 垂直的矢量中,有一个比较特殊,它指向曲线弯曲的方向。由于 长度不变,那么 垂直(参见 12.1 中关于固定长度的矢量函数)。因此,用 除以长度 ,得到与 垂直的单位矢量

定义

点处,平面上的曲线的主单位法矢量(principal unit normal vector

矢量 指向 变化的方向。如果 顺时针变化, 指向右侧,反之 逆时针转向, 指向左侧。综上,主单位法矢量 指向曲线凹处。

如果光滑曲线参数方程是 ,弧长参数 ,使用链式法则计算 最后一步的原因是

这个公式使得我们无需先计算 就能找到

计算 的公式

如果 是光滑曲线,那么主单位法矢量是 其中 是单位切矢量。

例3 求圆周运动

解:首先求 接着计算 显然,,验证了两者是正交的。另外还可以注意到, 始终指向圆周运动 的圆心。

平面曲线的曲率圆

曲线的一点 ,此处 ,那么曲率圆(circle of curvature)或密切圆(osculating circle)满足

  1. 在点 处与曲线相切
  2. 在点 处的曲率与曲线一致
  3. 圆心位于曲线凹的方向

处的曲率半径(radius of curvature)是密切圆的半径,根据之前的推导半径是 曲线在点 处的曲率中心(center of curvature)是曲率圆的圆心。

例4 求抛物线 在原点处的密切圆。

解:令 得到参数方程 使用公式 ,需要先计算单位切矢量 那么 求导 因此 因此曲率半径是 。在原点处 ,所以 ,与 轴同方向。因此圆心是 。密切圆方程是

密切圆如上图所示。在原点附近,密切圆是比原点处的切线 更好的近似。

空间中的曲率和法矢量

上述所有的推导带上第三项 ,或者说是 分量依旧成立。因此,空间中曲率的定义是 矢量 正交。主单位法矢量定义是

例5 求螺旋线 的曲率。

解:从速度矢量 求得 使用公式 如果 固定,随着 的增长曲率在减小;固定 ,随着 的减小,曲率也减小。

如果 ,螺旋线退化成圆,曲率是 ,圆的半径是 ,符合预期。如果 ,螺旋线退化成了 轴,曲率为零,也符合预期。

例6 求上个例子中螺旋线的

解:根据上个例子有 那么 所以 因此, 平行于 平面,且始终指向 轴。