090 二元函数的泰勒公式 Taylor's Formula for Two Variables
推导二阶偏微分测试
令 在包含点 的开放区间 上有连续的一阶偏微分和二阶偏微分,在 处有 。如下图所示。令 自增充分小得到点 ,在 内连接 。
线段 的参数方程是 如果 ,根据链式法则得到 由于偏微分连续,所以 可导,那么 是 的可导函数 由于 在 上连续,并且 在 上可导,使用泰勒公式展开,其中令 ,得到 其中 介于 0 到 1 之间。使用 改写上述方程得到 由于 ,所以上式可以简写为 为了确定 在 上是否有极大值,这里需要分析 的符号。根据 ,差值与 的符号相同。如果 ,当 充分小的时候, 的符号与 相同。我们可以通过 和 的符号判断 的符号。公式 两边同时乘以 并重写右边的项得到
- 如果在 处 ,且 ,那么对任意充分小且非零的 而言有 ,那么 在 处有最大值。
- 如果在 处 ,且 ,那么对任意充分小且非零的 而言有 ,那么 在 处有最小值。
- 如果在 处 ,那么对任意充分小且非零的 而言,有的值使得 ,有的值使得 。在平面 上任意接近 的点,有的点在 之上,有的点在 之下,所以 在 处是鞍点。
- 如果在 处 ,需要其他方式测试。因为 可能是零,无法推导出 的符号。
线性近似的误差公式
函数 与其线性近似 在 的差值 满足不等式 在包含中心位于 的矩形 的开放集合上 有连续的一阶、二阶偏微分,在 上, 是 的任意上界。 我们从方程 开始推导,这里用 替代 ,用 替代 ,那么 右边前三项是线性近似,因此 是 上 的上界,所以
二元函数的泰勒公式
前面公式中的 可以通过将下面的算子作用于 得到 从这两项得到通项公式是 也就是说 作用于 的结果等于将下面的算子作用于 如果函数 一直到 阶偏微分都在以 为中心的矩形上连续,那么 泰勒公式展开式是 代入 得到 将右边级数的前 阶偏微分替代为 的形式,并且加上适当的余项,就得到了下面二元函数的泰勒公式。
(a,b)$ 处的泰勒公式
假定 一直到 阶偏微分都在以 为中心的矩形上连续,那么在 有
前 个偏微分在 处求值,最后一项在 处求值,该点是 到 这个线段上的某点。
如果 ,并且将 视为自变量,使用 表示,公式 变成如下形式 前 个偏微分在 处求值,最后一项在原点到 的线段上的某点 处求值。
上面的泰勒公式提供了一种二元函数的多项式近似。前 偏微分项给出了多项式,最后一项给出了误差。泰勒公式的前三项是函数的线性近似。通过添加更高阶的项可以提高近似的准确度。
例1 求函数 在原点处的二次近似。如果 ,那么近似的精度是多少?
解:公式 取 得到 下面计算偏微分 那么 即 误差 三阶偏微分是正弦和余弦的积,所以绝对值不会超过 1。代入 得到 这里最后一个不等式向上取整。