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090 二元函数的泰勒公式 Taylor's Formula for Two Variables

推导二阶偏微分测试

在包含点 的开放区间 上有连续的一阶偏微分和二阶偏微分,在 处有 。如下图所示。令 自增充分小得到点 ,在 内连接

线段 的参数方程是 如果 ,根据链式法则得到 由于偏微分连续,所以 可导,那么 的可导函数 由于 上连续,并且 上可导,使用泰勒公式展开,其中令 ,得到 其中 介于 0 到 1 之间。使用 改写上述方程得到 由于 ,所以上式可以简写为 为了确定 上是否有极大值,这里需要分析 的符号。根据 ,差值与 的符号相同。如果 ,当 充分小的时候, 的符号与 相同。我们可以通过 的符号判断 的符号。公式 两边同时乘以 并重写右边的项得到

  1. 如果在 ,且 ,那么对任意充分小且非零的 而言有 ,那么 处有最大值。
  2. 如果在 ,且 ,那么对任意充分小且非零的 而言有 ,那么 处有最小值。
  3. 如果在 ,那么对任意充分小且非零的 而言,有的值使得 ,有的值使得 。在平面 上任意接近 的点,有的点在 之上,有的点在 之下,所以 处是鞍点。
  4. 如果在 ,需要其他方式测试。因为 可能是零,无法推导出 的符号。

线性近似的误差公式

函数 与其线性近似 的差值 满足不等式 在包含中心位于 的矩形 的开放集合上 有连续的一阶、二阶偏微分,在 上, 的任意上界。 我们从方程 开始推导,这里用 替代 ,用 替代 ,那么 右边前三项是线性近似,因此 的上界,所以

二元函数的泰勒公式

前面公式中的 可以通过将下面的算子作用于 得到 从这两项得到通项公式是 也就是说 作用于 的结果等于将下面的算子作用于 如果函数 一直到 阶偏微分都在以 为中心的矩形上连续,那么 泰勒公式展开式是 代入 得到 将右边级数的前 阶偏微分替代为 的形式,并且加上适当的余项,就得到了下面二元函数的泰勒公式。

(a,b)$ 处的泰勒公式

假定 一直到 阶偏微分都在以 为中心的矩形上连续,那么在

个偏微分在 处求值,最后一项在 处求值,该点是 这个线段上的某点。

如果 ,并且将 视为自变量,使用 表示,公式 变成如下形式 个偏微分在 处求值,最后一项在原点到 的线段上的某点 处求值。

上面的泰勒公式提供了一种二元函数的多项式近似。前 偏微分项给出了多项式,最后一项给出了误差。泰勒公式的前三项是函数的线性近似。通过添加更高阶的项可以提高近似的准确度。

例1 求函数 在原点处的二次近似。如果 ,那么近似的精度是多少?

解:公式 得到 下面计算偏微分 那么 误差 三阶偏微分是正弦和余弦的积,所以绝对值不会超过 1。代入 得到 这里最后一个不等式向上取整。