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080 多重积分的替换法 Substitutions in Multiple Integrals

二重积分的替换

14.4 小节的极坐标替换是一般性的替换法的特例。

假定 平面的区域 使用下面的方程变换成 平面的区域

假设对于 的内部点而言这是一个一对一的变换。我们称 是变换下 的镜像(image), 的原像(preimage)。任意在 上的函数 可以想象成 上的函数 上的积分与原始的 上的积分关系是怎样的呢?

首先回顾一下一元函数。第五章介绍了一元函数的替换法,将 变换成 ,公式如下 为了得到二重积分 的替换法,需要一个类似于 的乘子将 上的 变换成 上的 。这里使用 表示。就像 的函数, 应该是 的函数。 应该表示瞬时变化率,因此偏微分应该出现在表达式中。与变换函数 相关的偏微分有四个,它们都与 相关。最终的式子如下,用德国科学家卡尔•雅可比命名。

定义

坐标变换 的雅可比行列式(Jacobian determinant),雅可比式(Jacobian)定义是

雅可比式还可以表示为 公式 的行为与一元变量中 是类似的。雅可比式描述的是点 在区域中变换的程序。 描述的是将 的面积转换成 中相应的 的面积。一般情况下, 依赖于 中的点 ,即变换随着 内变化而变化。

下面回到最开始的问题,回答 的积分 与 f(g(u,v),h(u,v))$ 的积分的关系。

定理 3 二重积分的换元法

假定 上是连续的。令 的原像,变换函数是 ,这是一个一对一映射。如果函数 内有连续一节偏微分,那么

公式 的推导属于高级微积分的范围,这里忽略。

例1 求极坐标变换 的雅可比式,使用公式 表示笛卡尔坐标系下的积分 解:如下图所示。函数 中的区域 变换成了 在第一象限的区域。

雅可比式是 在极坐标中,有 ,因此 ,那么根据公式 这与 14.4 小节推导结果一致。

下面的例子是一个矩形变形成了梯形。这种变换称为线性变换(linear transformation),并且雅可比式在 上不变,是常量。

例2 通过变换 计算 解:如下图右边所示,描述了 平面上 的边界。

为了使用公式 ,需要找到 平面上 的区域和雅可比式。首先利用 来使用 表示 下面的表格描述的是 的边界。

的边界 相应的 的边界 简化

雅可比式是 那么

例3 求 解:如下图所示,给出了 平面上 的边界。

从积分式可以尝试变换 ,得到 从上面式子可以得到 平面的边界。

的边界 相应的 的边界 简化

雅可比式是 那么

下个例子简化积分式而得到的非线性变换。和极坐标转换一样,非线性变换将直线边界映射到曲线边界,或者相反。一般地,非线性变化比线性变换更复杂,完整的讨论在高等微积分中。

例4 求积分 解:根据积分式中的平方可以尝试替换 。两个式子两边平方得到 ,因此有 ,那么 其中 。雅可比式是 此时不再是常量。

如果 平面的区域,根据公式 这个积分比原始积分要容易,所以现在确定积分范围。

原始积分的区域 平面上图形如下图所示。

可以得到 可以得到 可以得到 可以得到 。上述过程的边界是逆时针顺序,因此在 中的顺序也是逆时针,如下图所示。

知道了 平面的范围,因此可以得到积分 因此

三重积分的替换

14.7 节中圆柱坐标系和球坐标系替换是三重积分替换的特例。

假设 平面上的区域 平面上的区域 的一对一变换是

那么 上的任意函数 可以看作是 上的函数 如果 有连续的一阶偏微分,那么 上的积分与 上的积分关系是 其中因子 是雅可比行列式 这个行列式表示从 变换时 中某点附近的体积是如何变化的。和二重积分一样,公式 的推导忽略。

对于柱坐标系,用 替代这里的 。从 空间到 空间的变换方程是

变换的雅可比式是 根据公式 可以得到 由于 ,可以省略上面式子中的绝对值。

对于球坐标系,用 替代这里的 。从 平面到 平面的变换是

雅可比行列式是 因此 我们可以去掉绝对值符号,因为 那么 ,这就和 14.7 小节结论一致。

下面是一个例子。尽管我们可以直接积分,但是这个例子中替换法相对简单,便于解释方法本身。

例5 应用变换 求积分 解:下面是区域 平面上的示意图,包含其边界。

为了使用公式 ,需要找到 平面上 的边界和变换的雅可比式。首先从 出发用 表示 ,那么 通过替换表达式找到 边界。

平面上 的边界 相应的 平面上 的边界 简化

从式子 可以得到雅可比式 那么