080 多重积分的替换法 Substitutions in Multiple Integrals
二重积分的替换
14.4 小节的极坐标替换是一般性的替换法的特例。
假定 平面的区域 使用下面的方程变换成 平面的区域
假设对于 的内部点而言这是一个一对一的变换。我们称 是变换下 的镜像(image
), 是 的原像(preimage
)。任意在 上的函数 可以想象成 上的函数 。 在 上的积分与原始的 在 上的积分关系是怎样的呢?
首先回顾一下一元函数。第五章介绍了一元函数的替换法,将 变换成 ,公式如下 为了得到二重积分 的替换法,需要一个类似于 的乘子将 上的 变换成 上的 。这里使用 表示。就像 是 的函数, 应该是 的函数。 应该表示瞬时变化率,因此偏微分应该出现在表达式中。与变换函数 相关的偏微分有四个,它们都与 相关。最终的式子如下,用德国科学家卡尔•雅可比命名。
定义
坐标变换 的雅可比行列式(
Jacobian determinant
),雅可比式(Jacobian
)定义是
雅可比式还可以表示为 公式 中 的行为与一元变量中 是类似的。雅可比式描述的是点 在区域中变换的程序。 描述的是将 中 的面积转换成 中相应的 的面积。一般情况下, 依赖于 中的点 ,即变换随着 在 内变化而变化。
下面回到最开始的问题,回答 上 的积分 与 f(g(u,v),h(u,v))$ 的积分的关系。
定理 3 二重积分的换元法
假定 在 上是连续的。令 是 的原像,变换函数是 ,这是一个一对一映射。如果函数 在 内有连续一节偏微分,那么
公式 的推导属于高级微积分的范围,这里忽略。
例1 求极坐标变换 的雅可比式,使用公式 表示笛卡尔坐标系下的积分 解:如下图所示。函数 将 中的区域 变换成了 上 在第一象限的区域。
雅可比式是 在极坐标中,有 ,因此 ,那么根据公式 有 这与 14.4 小节推导结果一致。
下面的例子是一个矩形变形成了梯形。这种变换称为线性变换(linear transformation
),并且雅可比式在 上不变,是常量。
例2 通过变换 计算 解:如下图右边所示,描述了 平面上 的边界。
为了使用公式 ,需要找到 平面上 的区域和雅可比式。首先利用 来使用 表示 。 下面的表格描述的是 的边界。
的边界 | 相应的 上 的边界 | 简化 |
---|---|---|
雅可比式是 那么
例3 求 解:如下图所示,给出了 平面上 的边界。
从积分式可以尝试变换 ,得到 从上面式子可以得到 在 平面的边界。
的边界 | 相应的 上 的边界 | 简化 |
---|---|---|
雅可比式是 那么
下个例子简化积分式而得到的非线性变换。和极坐标转换一样,非线性变换将直线边界映射到曲线边界,或者相反。一般地,非线性变化比线性变换更复杂,完整的讨论在高等微积分中。
例4 求积分 解:根据积分式中的平方可以尝试替换 。两个式子两边平方得到 ,因此有 ,那么 其中 。雅可比式是 此时不再是常量。
如果 是 平面的区域,根据公式 有 这个积分比原始积分要容易,所以现在确定积分范围。
原始积分的区域 在 平面上图形如下图所示。
可以得到 , 可以得到 , 可以得到 可以得到 。上述过程的边界是逆时针顺序,因此在 中的顺序也是逆时针,如下图所示。
知道了 在 平面的范围,因此可以得到积分 因此
三重积分的替换
14.7 节中圆柱坐标系和球坐标系替换是三重积分替换的特例。
假设 平面上的区域 到 平面上的区域 的一对一变换是
那么 上的任意函数 可以看作是 上的函数 如果 有连续的一阶偏微分,那么 在 上的积分与 在 上的积分关系是 其中因子 是雅可比行列式 这个行列式表示从 到 变换时 中某点附近的体积是如何变化的。和二重积分一样,公式 的推导忽略。
对于柱坐标系,用 替代这里的 。从 空间到 空间的变换方程是
变换的雅可比式是 根据公式 可以得到 由于 ,可以省略上面式子中的绝对值。
对于球坐标系,用 替代这里的 。从 平面到 平面的变换是
雅可比行列式是 因此 我们可以去掉绝对值符号,因为 那么 ,这就和 14.7 小节结论一致。
下面是一个例子。尽管我们可以直接积分,但是这个例子中替换法相对简单,便于解释方法本身。
例5 应用变换 求积分 解:下面是区域 在 平面上的示意图,包含其边界。
为了使用公式 ,需要找到 平面上 的边界和变换的雅可比式。首先从 出发用 表示 ,那么 通过替换表达式找到 边界。
平面上 的边界 | 相应的 平面上 的边界 | 简化 |
---|---|---|
从式子 可以得到雅可比式 那么