010 一些基本数学模型；方向场 Some Basic Mathematical Models; Direction Fields
自然界中很多法则、定律表示的关系与事情变化的速率相关。用数学术语表达，关系就是方程，变化率就是求导。包含导数的方程就是微分方程（differential equations）。
一个描述物理过程的微分方程是该过程的数学模型（mathematical model）。本书会介绍很多模型。下面从两个简单的模型入手。
例 1 自由落体
假定在海平面附近的大气中有一个物体自由下落，使用微分方程可以描述这个过程。
解：使用 表示时间， 表示速度， 是时刻 时物体的速度。这里旋转向下为正向。
牛顿第二定律（Newton's second law）描述了物体的运动。
其中 是物体的质量， 是加速度， 物体所受的力。 和 相关，即 ，那么上式可以写作
物体受到重力影响，大小是 ，向下，正向。物体还受到空气阻力，正比于速度，，这里 是阻力系数。因此作用于物体的力可以写作
那么公式 可以写作 这个模型里面 可以视为常量。其中 是物理常量，重力加速度。 与物体本身相关。
为了求解 ，需要找到一个函数 满足这个方程，下一节会分析。这里先分析一个更简单的问题， 都给出的情况。假定 ，那么 可以写作
例 2 自由落体
不求解微分方程，分析 的解的行为。
解：现在考虑仅从微分方程中能够得到什么信息。假定速度 是确定值，那么根据 右边可以计算得到 的值。比如 ，那么 ，这意味着解 在 的点处斜率是 。我们可以在 平面上在 的直线上画一些斜率是 1.8 的短线，如下图（a）所示。类似的，当 时 ，当 时 ，同样可以画出表示斜率的短线，如下图（b）（c）所示。
同样处理其他 值可以得到方向场（direction field）或斜率场（slope field）。微分方程 的方向场如下图所示。
方程 的解是函数 ，在 平面上是一条曲线。上图中的线段都是曲线的切线。尽管没有给出解，仍旧可以得到一些定性分析结果。如果 小于某个值，对应的线段的斜率为正，说明随着物体下降速度在增加。如果 大于某个值，对应的线段的斜率为负，随着物体下降速度在减小。这个临界值是多少呢？回到 ，这个问题等价于让 为零的 值，即 。