050 自治微分方程和种群动态 Autonomous Differential Equations and Population Dynamics
有一类很重要的一阶微分方程，就是自变量没有显式出现在方程中。这样的方程称为自治（autonomous）微分方程，形式如下
这个模型适用面非常广，比如种群的增长、经济发展、生态等等。我们在 1.1 和 1.2 两个小节讨论过 这种特殊情况。
方程 是可分离的，可以用 2.2 小节的方法求解，不过这里更要强调的是如何应用几何方法来获得定性性质。这其中最重要的是稳定解和非稳定解的概念。第一章简单介绍过这种思想但是没有使用这些术语。第九章会进一步讨论这个问题。
指数增长
令 是给定时间 时种群的数量。最简单的假设是 的变化率正比于 ，那么
常量比率 称为增长率（rate of growth）或下降率（rate of decline），这取决于 的符号。我们假定数量是增长的，即 。
假定初始条件是 那么 是 这个初值问题的解。 意味着数量会无限增长下去。
在理想状态下，在有限时间内，这个模型比较精确，但是由于空间、食物、其他资源是受限的，数量不会无条件增长。
逻辑斯谛（logistic）增长
要考虑增长率是依赖于数量的，因此将 中的 替换成函数 得到
当 很小的时候， 应该近似等于 ，随着 的增长 要减小，当 充分大的时候，。最简单满足这些性质的函数是 ，其中 也是正的常数。那么上面的方程变为
这就是 Verhulst 方程或逻辑斯谛方程。往往写作下面的形式更方便
其中 。这种形式下，常数 称为内在增长率（intrinsic growth rate），即不考虑任何限制因素时的增长率。
在讨论 和求解之前，先定性的画出解。首先 的解的最简单形式是常数函数，即 ，那么
常量解有两个 。这些解是平衡解（equilibrium solution），随着时间的变化， 值不变。对于方程 而言，更一般的情况就是 ，这些使得 为零的点称为临界点（critical point）。
为了画出 的其他解，先从给出 的图像开始。 是二次函数，因此图像是一个抛物线。 的临界点对应的点是 ，抛物线的顶点是 。当 时，， 随着 的增长而增长，如 轴上方的箭头所示。类似的， 时，， 随着 的增长而减少。
在这个上下文语境中， 轴是相位线（phase line），更好的是在垂直方向做示意图，如下图（a）所示。临界点是 ，对应着平衡解。箭头表示 变化的方向，是增长还是减少。
如果 在 或者 附近，斜率 接近零，解的曲线很平缓，当 远离 或者 时，曲线变得陡峭。
为了在 平面上给出解，首先画出平衡解 。然后根据上述分析，当 时曲线增长， 时曲线减少。在接近 时，曲线变得平缓。
这些解会在 上相交吗？定理 2.4.2 的唯一性告诉我们不会，过给定点，只有一个解。当 时，所有解会趋于平衡解。
为了确定凸凹性和拐点，需要计算二阶导 ，从微分方程 得到 符号相同，那么 ，上凹（开口向上）。反之， 符号不同，那么 ，下凹。拐点可能出现在 处。
在 中，当 时， 是正的，且增长，因此 都是正的，上凹。当 时也是上凹的，因为 都是负的。在 上，下凹，因为 是正的，但是在减少， 是负的。拐点是 处。上图（b）画出了这些性质。
当初始值位于 的下方时， 是上界，趋于这个值但是不会超过。 称为饱和度（saturation level）或自然承载量（environmental carrying capacity）。