030 特征方程的复数根 Complex Roots of the Characteristic Equation

在 3.1 小节我们分析了二阶线性微分方程 $$ay''+by'+cy=0\tag{1}$$ 其中 $a,b,c$ 是任意常数。如果 $y=e^{rt}$ 是解，那么 $r$ 是特征方程 $$ar^2+br+c=0\tag{2}$$ 的根。在 3.1 中我们讨论了有两个实根 $r_1,r_2$ 的情况，此时判别式 $b^2-4ac$ 是正数。方程 $(1)$ 的通解是 $$y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\tag{3}$$ 现在假定 $b^2-4ac$ 是负数，那么 $(2)$ 有两个共轭复根，分别是 $$r_1=\lambda+i\mu,r_2=\lambda-i\mu\tag{4}$$ 其中 $\lambda,\mu$ 是实数。相应的 $y$ 的表达式是 $$y_1(t)=\exp((\lambda+i\mu)t),y_2(t)=\exp((\lambda-i\mu)t)\tag{5}$$ 首先需要讨论这两个式子的含义，这涉及到复指数的指数函数。比如 $\lambda=-1,\mu=2,t=3$ 那么 $(5)$ 就是 $$y_1(3)=e^{-3+6i}\tag{6}$$ $e$ 的复数次幂是什么含义呢？这就需要用到欧拉公式。

欧拉公式

为了表示 $(5)$ 的含义，需要给出复指数函数的意义。下面利用无穷级数的来分析。

在 $t=0$ 附近 $e^t$ 的泰勒展开是 $$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\cdots+\frac{t^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!},-\infty<t<\infty\tag{7}$$ 将 $(it)$ 代入上式得到 $$e^{it}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(it)^n}{n!}\tag{8}$$ 下面简化上式，对 $n$ 的奇偶分别讨论。当 $n$ 是偶数时，那么 $n=2k$，$i^n=i^{2k}=(-1)^k$；当 $n$ 是奇数时，那么 $n=2k+1$，$i^n=i^{2k+1}=i(-1)^k$，这就可以将 $(8)$ 分成实部和虚部。因此 $$e^{it}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kt^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!}\tag{9}$$ 上式第一个级数是 $t=0$ 附近 $\cos t$ 的泰勒展开，第二个级数是 $t=0$ 附近 $\sin t$ 的泰勒展开，因此 $$e^{it}=\cos t+i\sin t\tag{10}$$ 这就是欧拉公式（Euler's formula），极为重要的数学关系。

这里推导出 $(10)$ 有一个前提假设是 $(7)$ 对复数也适用。现在将 $e^{it}$ 定义为式子 $(10)$。

如果用 $t=-t$ 代入 $(10)$，结合 $\cos(-t)=\cos t,\sin(-t)=-\sin t$ 得到 $$e^{-it}=\cos t-i\sin t\tag{11}$$ 使用 $\mu t$ 代入 $(10)$ 得到 $$e^{i\mu t}=\cos(\mu t)+i\sin(\mu t)\tag{12}$$ 接下来扩展到用 $\lambda+\mu i$ 做指数。首先指数方程有性质 $$e^{(\lambda+\mu i)t}=e^{\lambda t}e^{i\mu t}\tag{13}$$ 那么 $$\begin{aligned} e^{(\lambda+i\mu)t}&=e^{\lambda t}(\cos(\mu t)+i\sin(\mu t))\\ &=e^{\lambda t}\cos(\mu t)+ie^{\lambda t}\sin(\mu t) \end{aligned}\tag{14}$$ 指数是复数的指数函数还是一个复数，实部和虚部由 $(14)$ 的右边给出。这是实部和虚部都是初等实函数。比如前面 $(6)$ 就可以写作 $$e^{-3+6i}=e^{-3}\cos 6+ie^{-3}\sin 6\approx 0.0478041-0.0139113i$$ 根据定义 $(10),(14)$ 很容易证明指数求导也适用于复指数函数。使用 $(14)$ 很容易验证 $$\frac{d}{dt}(e^{rt})=re^{rt}\tag{15}$$ 对复数 $r$ 成立。

例 1 求微分方程 $$y''+y'+9.25y=0\tag{16}$$ 的通解。然后求满足初始条件 $$y(0)=2,y'(0)=9\tag{17}$$ 的解，并话费 $0<t<10$ 的图像。

解：方程 $(16)$ 的特征方程是 $$r^2+r+9.25=0$$ 因此根是 $$r_1=-\frac{1}{2}+3i,r_2=-\frac{1}{2}-3i$$ 那么 $(16)$ 的两个根是 $$y_1(t)=\exp((-\frac{1}{2}+3i)t)=e^{-t/2}(\cos 3t+i\sin 3t)\tag{18}$$ $$y_2(t)=\exp((-\frac{1}{2}-3i)t)=e^{-t/2}(\cos 3t-i\sin 3t)\tag{19}$$ 容易验证朗斯基 $W[y_1,y_2](t)=-6ie^{-t}$，不会是零，因此方程 $(16)$ 的通解是 $y_1(t),y_2(t)$ 的线性组合。

不过 $(16),(17)$ 都是实系数，那么期望使用实函数来表达解。根据定理 3.2.6，复数解的实部和虚部也是解，那么可以得到 $$u(t)=e^{-t/2}\cos 3t,v(t)=e^{-t/2}\sin 3t\tag{20}$$ 是方程 $(16)$ 的实数解。朗斯基 $W[u,v](t)=3e^{-t}$，也不为零，那么 $u,v$ 是基础解系，那么方程 $(16)$ 的通解是 $$y=c_1u(t)+c_2v(t)=e^{-t/2}(c_1\cos 3t+c_2\sin 3t)\tag{21}$$ 其中 $c_1,c_2$ 是任意常数。

为了满足初始条件 $(17)$，首先将 $t=0,y=2$ 代入解 $(21)$ 得到 $c_1=2$。对 $(21)$ 求导并代入 $t=0,y'=8$ 得到 $$-\frac{1}{2}c_1+3c_2=8$$ 那么 $c_2=3$。因此初值问题 $(16),(17)$ 的解是 $$y=e^{-t/2}(2\cos 3t+3\sin 3t)\tag{22}$$ 图像如下图所示

从这个图可以看出，解是振荡的，周期为 $2\pi/3$，振幅是衰减的。正弦和余弦控制解的振荡，负指数项影响了振幅最终会趋于零。