040 重复根；降阶法 Repeated Roots; Reduction of Order
3.1 和 3.3 小节讨论了如何求解微分方程 其特征方程是 特征方程有两个不同的实数解或者复数解。现在考虑第三种情况，两个根 是相等的。此时，判别式 。那么 困难立即就出现了，此时只有一个解 如何寻找第二个解呢？
例 1 求解微分方程 解：特征方程是 得到 。因此方程 的一个解是 。为了求通解，还需要找到一个不是 常数倍的解。下面使用十八世纪 d'Alembert 给出的方法来找到第二个解。 是解，那么 也就是解。泛化这个思想，是否存在一个函数 使得 也是方程 的解。
对于当前的问题，我们尝试将 代入 。首先有 求一阶导 求二阶导 将 代入 得到 化简得到 因此 那么 其中 是任意常量。将结果代入 得到 上式右边第二项对应最开始的解 ，第一项对应第二个解 。这两个解的朗斯基是 因此 是微分方程 的基础解系，通解是 。当 时， 都趋于零，因此 的所有解都趋于零。下图给出了若干个解的图像。
现在使用例 1 的方法来解决一般性问题。假定方程 系数满足 ，那么 为了找到第二个解，假设 代入 来确定 。一阶导 二阶导 那么 不为零，两边同除这个式子，合并同类项得到 第二项系数为零。第三项系数是 ，分子恰好为零。因此 就是 那么 代入 得到 是函数 的线性组合。这两个函数的朗斯基是 由于 永远不会是零，因此 是基础解系。方程 是方程 的通解， 的特征方程有两个相等的实根。
例 2 求解初值问题 解：特征方程是 那么 。这个微分方程的通解是 第一个初始条件要求 为了满足第二个初始条件，对 求导并代入 得到 因此 。那么初值问题的解是 解的图像如下图蓝线所示。
修改初始斜率，令第二个初始条件是 ，那么解是 如上图红色曲线。上图说明初始斜率在 1/3 和 2 之间，存在一个临界斜率，将解分成两种：当 时，是无限制增长还是无限下降。事实上，令这个临界斜率为 ，那么 那么 ，通解是 这个临界斜率是 1。
解的渐进行为与根为两个不同实数和复数类似。如果指数是正的或者是负的，那么解的大小增长或者减少，线性因子 影响相当小。如果两个相等的根都是零，那么微分方程是 ，那么通解是 的线性函数。
总结
常系数二阶线性微分方程 的特征方程 的两个根是 。
如果 是不相等的实根，那么 的通解是 如果 是共轭复数 ，那么通解是 如果 ，通解是
降阶法
值得注意的是，本届介绍的方法可以用于更一般的情况。假定我们已经知道了不处处为零的函数 是微分方程
的一个解。为了找到另一个解，令
那么一阶导是
二阶导是
将这些代入 得到
由于 是方程 的解，那么 的系数等于零，那么 简化成
是 的一阶微分方程。一旦 计算得到了，再次积分得到 ，然后代入 得到通解 。这个过程称为降阶（reduction of order），最关键的步骤是将求原始的 的二阶微分方程变为求解 的一阶微分方程。
例 3 微分方程 的一个解是 求微分方程的基础解系。
解：令 ，那么 代入 得到 令 ，那么上面的二阶微分方程降阶为可分离的一阶微分方程 分离变量法解的 积分得到 那么 其中 都是常量。 右边第二个项是题目给出的解 ，第一项给出了第二个解 。 的朗斯基是 因此 是方程 的基础解系。