060 参数变分法 Variation of Parameters
这一节我们讨论求非齐次方程特解的第二种方法，称为参数变分法（variation of parameters），由拉格朗日提出，是待定系数法的补充。参数变分法的主要优势是这是一种通用方法，可以用于任意方程，无需假定特解的形式。在本节最后我们会推导任意二阶线性非齐次微分方程的特解公式。另一方面，参数变分法最后需要对涉及非齐次项的积分，这可能非常困难。
例 1 求 的通解。
解：这个问题无法使用待定系数法，因为非齐次项 不是正弦和余弦函数的和或者积。
我们先求解对应齐次方程的通解 的特征方程是复根，因此通解是 参数变分法的主要想法和 3.4 小节的降阶法类似。用 代替 ，那么有 这是 的解，不过需要计算得到 。将 代入 求解。不过无需计算出结果，最后的方程会涉及两个未知函数 及其一阶导、二阶导。由于只有一个方程，我们必须再强加一个条件，这样才有两个方程来求解未知函数 。下面是拉格朗日提出的方法，我们选择的条件能够大大简化计算。
回到 ，求导得到 这里令上式的后两项之和为零，即 那么 简化为 条件 的最终影响还不确定，但是移出涉及 的项大大简化了 。对 求导得到 将 代入 得到 因此 需要满足 联立方程 就可以得到 。一种解法是根据 用 来表示 将上式代入 简化得到 将 代入 并再次利用倍角公式得到 现在有了 ，积分得到 代入 得到通解 最后再使用倍角公式简化得到 上式中涉及任意常量 是对应齐次方程的通解，前面三项是非齐次方程 的特解。 是通解。
在上面的例子中，我们选择 都为零作为特解。其实任意选择都能得到特解。如果选择 ，那么特解仅有两项 特解的形式相对比较复杂，这就是为什么无法使用待定系数法的原因。
下面讨论一般情况。 其中 是连续函数。假定我们已经得到了相应的齐次方程 的通解是 目前我们已经分析了 中系数是常数的情况，第五章会分析系数依赖于 的情况。
将 中的 换成 得到 下面尝试确定 ，那么 是非齐次方程 的解。首先对 求一阶导 和例 1 一样，令 那么 简化为 再次求导得到 将 代入 得到 由于 是齐次方程 的解，那么 中前两行为零。那么 简化为 构成了 的线性系统。求解得到 由于 是基础解系，因此朗斯基 不为零。对 积分得到 如果 能够表达成初等函数，那么代回 得到 的通解。不过一般情况都是无法表达这个积分。
定理 3.6.1
非齐次二阶线性微分方程 如果 在开区间 上是连续函数，且如果 是相应的齐次微分方程 的基础解析，那么 的特解是 其中 是 内任意的合适的选择。根据定理 3.5.2 通解是
根据表达式 可以看出来参数变分法的两个主要困难。第一个是当齐次方程的系数不是常数时，求解基础解系 比较困难。第二个是求解 中的积分，被积分式子涉及 。在使用公式 的时候，需要保证微分方程的形式如 ，否则 可能不是正确形式。
参数变分法的一个优势是 为特解 提供了一个关于任意外力函数 的表达式。如果想研究外力函数变化的影响，或者分析对于不同外力函数系统的响应，这个表达式是一个很好的开始。