010 $n$ 阶线性微分方程的一般性理论 General Theory of nth Order Linear Differential Equations

$n$ 阶线性微分方程的形式是 $$P_0(t)\frac{d^n y}{dt^n}+P_1(t)\frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}}+\cdots+P_{n-1}\frac{dy}{dt}+P_n(t)y=G(t)\tag{1}$$ 我们假定函数 $P_0,P_1,\cdots,P_n,G$ 是在区间 $I:\alpha<t<\beta$ 上连续的实函数，在这个区间上 $P_0$ 不会为零。那么两边同时除以 $P_0(t)$ 得到 $$L[y]=\frac{d^n y}{dt^n}+p_1(t)\frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}}+\cdots+p_{n-1}(t)\frac{dy}{dt}+p_n(t)y=g(t)\tag{2}$$ $(2)$ 定义的 $n$ 阶线性微分算子 $L$ 和第三章给出的二阶算子类似。$(2)$ 相关的数学理论和二阶线性微分方程类似，因此可以给出 $n$ 阶问题的结果。

由于 $(2)$ 涉及 $y$ 对 $t$ 的 $n$ 阶导，那么需要 $n$ 次积分来求解 $(2)$。每一次积分都会引入一个任意常数。因此如果指定了如下 $n$ 个初始条件，那么期望可以得到唯一解。 $$y(t_0)=y_0,y'(t_0)=y'_0,\cdots,y^{(n-1)}(t_0)=y^{(n-1)}_0\tag{3}$$ 其中 $t_0$ 是区间 $I$ 上一点，且 $y_0,y'_0,\cdots,y^{(n-1)}_0$ 是给定实数常量。下面的定理与定理 3.2.1 类似，确保初值问题 $(2),(3)$ 有唯一解。

定理 4.1.1

如果函数 $p_1,p_2,\cdots,p_n,g$ 在开区间 $I$ 上连续，那么有且仅一个解 $y=\phi(t)$ 是微分方程 $(2)$ 的解且满足初始条件 $(3)$，其中 $t_0$ 是 $I$ 内任一点。这个解在 $I$ 上都存在。

这里不会给出证明。不过系数 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ 是常数时，4.2 小节到 4.4 小节会讨论如何构造 $(2),(3)$ 的解，过程与第三章讨论的类似。如果没有定理 4.1.1，即使我们求得了一个解，也无法确定这个解是唯一解。

齐次方程