070 贝塞尔方程 Bessel's Equation

这一节通过讨论贝塞尔方程的三种特殊情况来解释 5.6 小节的分析。下面是贝塞尔方程 $$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\tag{1}$$ 其中 $\nu$ 是常量。很容易证明 $x=0$ 是方程 $(1)$ 的正则奇点。 $$p_0=\lim_{x\to 0}x\frac{Q(x)}{P(x)}=\lim_{x\to 0}x\frac{1}{x}=1$$ $$q_0=\lim_{x\to 0}x^2\frac{R(x)}{P(x)}=\lim_{x\to 0}x^2\frac{x^2-\nu^2}{x^2}=-\nu^2$$ 因此指标方程是 $$F(r)=r(r-1)+p_0r+q_0=r(r-1)+r-\nu^2=r^2-\nu^2=0$$ 那么根是 $r=\pm\nu$。下面讨论在区间 $x>0$ 上 $\nu=0,\nu=\frac{1}{2},\nu=1$ 三种情况。贝塞尔函数在 11.4 和 11.5 小节还会出现。

零阶贝塞尔方程