010 Introduction 介绍

如果一个问题涉及多个因变量且每一个因变量都依赖于同一个自变量时，那么很自然地产生了联立常微分方程组。一般用 $t$ 表示自变量用 $x_1,x_2,\cdots$ 表示 $t$ 的函数。对 $t$ 的微分表示为 $\frac{dx_1}{dt}$ 或者 $x_1'$。

首先讨论如下图所示的弹簧系统。两个物体在无摩擦力的平面上运动，外力分别是 $F_1(t),F_2(t)$，三个弹簧的弹性系数是 $k_1,k_2,k_3$。假定向右运动或者向右偏移为正。

TODO add figure

下图是受理分析，根据牛顿第二定律可以得到 $$\begin{aligned} m_1\frac{d^2x_1}{dt^2}&=k_2(x_2-x_1)-k_1x_1+F_1(t)&&=-(k_1+k_2)x_1+k_2x_2+F_1(t)\\ m_2\frac{d^2x_2}{dt^2}&=-k_3x_2-k_2(x_2-x_1)+F_2(t)&&=k_2x_1-(k_2+k_3)x_2+F_2(t) \end{aligned}\tag{1}$$

TODO add figure from exercise

下面讨论如下所示的 LRC 电路。令 $V$ 是电容 $C$ 两端的电压差，也就是电阻和电感两端的电压差，令 $I_1,I_2,I_3$ 分别是通过电容、电阻和电感的电流，且 $I=I_3$，根据基尔霍夫定律 $$I_1+I_2+I_3=0$$ 这些元器件满足 $$CV'=I_1,V=I_2R,LI_3'=V$$ 那么 $$I_3'=\frac{V}{L}$$ $$CV'=I_1=-I_2-I_3=-I-\frac{V}{R}$$ 那么 $$\begin{aligned} I'=&\frac{dI}{dt}=\frac{V}{L}\\ V'=&\frac{dV}{dt}=-\frac{I}{C}-\frac{V}{RC} \end{aligned}\tag{2}$$ 一阶方程组重要的原因之一是高阶方程总是可以变换成一阶方程组。第八章会看到，如果需要数值法，那么问题先要转成一阶方程组。下面解释如何做到这一点。

例 1 3.7 小节的例 3 是一个弹簧系统的例子，二阶微分方程是 $$u''+\frac{1}{8}u'+u=0\tag{3}$$ 将其转化成一解方程组。

解：令 $x_1=u,x_2=u'$，那么 $x_1'=x_2$，进一步 $u''=x_2'$，代入 $(3)$ 得到 $$x_2'+\frac{1}{8}x_2+x_1=0$$ 那么 $x_1,x_2$ 满足两个一阶微分方程组成的系统 $$\begin{aligned} x_1'&=x_2\\ x_2'&=-x_1-\frac{1}{8}x_2 \end{aligned}\tag{4}$$ 弹簧系统的运动方程是 $$mu''+\gamma u'+ku=F(t)\tag{5}$$ 令 $x_1=u,x_2=u'$，和例 1 一样得到方程组 $$\begin{aligned} x_1'&=x_2\\ x_2'&=-\frac{k}{m}x_1-\frac{\gamma}{m}x_2+\frac{1}{m}F(t) \end{aligned}\tag{6}$$ 为了转化任意 $n$ 解阶方程 $$y^{(n)}=F(t,y,y',\cdots,y^{(n-1)})\tag{7}$$ 成由 $n$ 个一阶微分方程组成的系统，类似例 1，令 $$x_1=y,x_2=y',x_3=y'',\cdots,x_n=Y^{(n-1)}\tag{8}$$ 上面的式子蕴涵着 $$\begin{aligned} x_1'&=x_2\\ x_2'&=x_3\\ &\vdots\\ x_{n-1}'&=x_n \end{aligned}\tag{9}$$ 方程 $(7)$ 就是 $$x_n'=F(t,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})\tag{10}$$ 方程 $(9),(10)$ 是更一般的方程组的特例 $$\begin{aligned} x_1'&=F_1(t,x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ x_2'&=F_2(t,x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ &\vdots\\ x_n'&=F_n(t,x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ \end{aligned}\tag{11}$$ $(11)$ 这种形式的方程组几乎包含了所有我们感兴趣的情况。微分方程领域里大部分更高级的理论都是专门用来研究这类系统的。