050 常系数齐次线性方程组 Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients

本节主要讨论常系数齐次线性方程组，形式是 $$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\tag{1}$$ 其中 $\boldsymbol{A}$ 是 $n\times n$ 的矩阵。除非额外声明，$\boldsymbol{A}$ 的元素都是实数。

如果 $n=1$，那么方程组简化为单个一阶方程 $$\frac{dx}{dt}=ax\tag{2}$$ 解是 $x(t)=ce^{at}$，当 $a\neq 0$ 时，$x=0$ 是唯一的临界点。如果 $a<0$，当 $t$ 增大时非平凡解（$x(t)=0$ 之外的解）都趋于 $x(t)=0$，此时 $x(t)=0$ 是渐进稳定平衡解。如果 $a>0$，当 $t$ 增长时，除了平衡解之外的每一个解都远离平衡解，因此这种情况下 $x(t)=0$ 是不稳定解。

对于 $n$ 个方程的方程组，情况类似但是更复杂。通过求解 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 可以得到平衡解。通常假定 $\det\boldsymbol{A}\neq 0$，因此 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 是唯一的平衡解。那么问题来了，当 $t$ 变大时，其他解是趋于还是远离平衡解？也就是说 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 是渐进稳定的还是不稳定的？还是有其他情况？

$n=2$ 这种情况非常重要，可以在 $x_1x_2$ 平面上可视化，这个平面称为相平面（phase plane）。通过在大量点处计算 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 并且画出结果矢量，可以得到微分方程组的切向量的方向场。通过方向场可以定性理解解的行为。更多信息需要画出解的曲线，即轨迹。展示出有代表性的轨迹的图称为相图（phase portrait）。一个很好的相图可以给出易于理解的解的信息。这项工作往往由计算机辅助完成。

下面先看一个简单的示例。

例 1 求方程组 $$\boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix} 2&0\\0&-3 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}\tag{3}$$ 的通解。

解：这个方程组除了对角线以外的系数都是零，因此称为对角矩阵（diagonal matrix）。方程组写成标量形式是 $$x_1'=2x_1,x_2'=-3x_2$$ 每一个方程只涉及一个未知变量，因此可以分开求解这两个方程。因此得到解 $$x_1=c_1e^{2t},x_2=c_2e^{-3t}$$ 其中 $c_1,c_2$ 是任意常数。写成向量形式是 $$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} c_1e^{2t}\\c_2e^{-3t} \end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix} e^{2t}\\0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} 0\\e^{-3t} \end{pmatrix}=c_2\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}e^{-3t}\tag{4}$$ 将这两个解定义为 $\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}$，那么 $$\boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}e^{2t},\boldsymbol{x}^{(2)}=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}e^{-3t}\tag{5}$$ 朗斯基行列式是 $$W[\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}]=\begin{vmatrix} e^{2t}&0\\0&e^{-3t} \end{vmatrix}=e^{-t}\tag{6}$$ 朗斯基总是不为零。因此 $\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}$ 是基础解系，方程组 $(3)$ 的通解是 $(4)$。

例 1 中，我们找到了两个线性无关的解，形式是一个向量乘以一个指数函数。这是意料之中的事情，因为未知数 $\boldsymbol{x}$ 是一个矢量，并且我们之前讨论过常系数线性方程有指数解。现在泛化这个想法，那么解的形式是 $$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}e^{rt}\tag{7}$$ 其中需要确定的是指数 $r$ 和矢量 $\boldsymbol{\xi}$。将 $(7)$ 代入 $(1)$ 得到 $$r\boldsymbol{\xi}e^{rt}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}e^{rt}$$ 两边同时除以非零因子 $e^{rt}$ 得到 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=r\boldsymbol{\xi}$ 或者是 $$(\boldsymbol{A}-r\boldsymbol{I})\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}\tag{8}$$ 其中 $\boldsymbol{I}$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵。因此，为了求解微分方程组 $(1)$，必须求解代数方程 $(8)$。后者就是求解 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量。因此如果 $r$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\boldsymbol{\xi}$ 是对应的特征向量，那么 $(7)$ 是 $(1)$ 的解。

下面是两个典型的 $2\times 2$ 的方程组的例子，特征值是实数且不相等。在每个例子中，会求解方程组、构造相应的相图。由于特征值的符号相同或者不同，解的几何模式相当不同。稍后会回到 $n\times n$ 的方程组。

例 2 有如下方程组 $$\boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix} 1&1\\4&1 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}\tag{9}$$ 画出方向场，给出解的定性行为。然后求通解，画出相位图和一些轨迹。

解：下图是 21 乘 21 共计 441 个箭头组成的方向场，其中 $-2.5\leq x_1\leq 2.5,-2.5\leq x_2\leq 2.5$，步长均为 0.25。每一点 $(x_1,x_2)$ 处的箭头方向是 $$\begin{pmatrix} 1&1\\4&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}$$ 比如 $(1,0)$ 处的方向矢量是 $(1,4)^T$，$(-1,-1)$ 处的方向矢量是 $(-2,-5)^T$。这两个矢量使用绿色标出。所有的箭头同样的长度，并且足够短避免相近的箭头交叉。

解的轨迹是沿着方向场的箭头方向的。第二象限的解最终会移动到第一或者第三象限，这和第四象限的解类似。第一象限和第三象限的解仍旧在当前象限内。原点附近的解会远离原点，最终的斜率近似是 2。

假定解是 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}e^{rt}$，代入 $(9)$ 得到代数方程组 $$\begin{pmatrix} 1-r&1\\4&1-r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi_1\\\xi_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\tag{10}$$ $(10)$ 有非平凡解等价于系数行列式为零。因此 $r$ 是方程 $$\begin{vmatrix} 1-r&1\\4&1-r \end{vmatrix}=(1-r)^2-4=(r-3)(r+1)=0\tag{11}$$ 的根。那么 $r_1=3,r_2=-1$，这是 $(9)$ 的系数矩阵的特征值。

当 $r=3$ 时，$(10)$ 的两个方程减少为一个 $$-2\xi_1+\xi_2=0\tag{12}$$ 因此 $\xi_2=2\xi_1$。那么对应 $r_1=3$ 的特征向量是 $$\boldsymbol{\xi}^{(1)}=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\tag{13}$$ 类似的，代入 $r_2=-1$，得到 $\xi_2=-2\xi_1$，因此特征向量是 $$\boldsymbol{\xi}^{(2)}=\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\tag{14}$$ 微分方程的解是 $$\boldsymbol{x}^{(1)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}e^{3t},\boldsymbol{x}^{(2)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}e^{-t}\tag{15}$$ 这两个解的朗斯基 $$W[\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}]=\begin{vmatrix} e^{3t}&e^{-t}\\ 2e^{3t}&-2e^{-t}\\ \end{vmatrix}=-4e^{2t}\tag{16}$$ 不会为零。因此 $\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}$ 是基础解系，那么方程 $(9)$ 的通解是 $$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=c_1\boldsymbol{x}^{(1)}(t)+c_2\boldsymbol{x}^{(2)}(t)\\ &=c_1\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}e^{3t}+c_2\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}e^{-t} \end{aligned}\tag{17}$$ 其中 $c_1,c_2$ 是任意常量。

下面对解 $(17)$ 进行可视化，考虑不同常量 $c_1,c_2$ 并在 $x_1x_2$ 平面上画出对应图像。首先从 $\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{x}^{(1)}(t)$ 开始，其标量形式是 $$x_1=c_1e^{3t},x_2=c_1e^{3t}$$ 消除变量 $t$ 可以得到 $x_2=2x_1$。如下图（a）所示。这条线通过原点，方向是特征向量 $\boldsymbol{\xi}^{(1)}$ 的方向。当 $c_1>0$ 时，沿着轨迹移动，解在第一象限，反之 $c_1<0$，解在第三象限。两种情况下，随着 $t$ 增加，都远离原点。

接下来讨论 $\boldsymbol{x}=c_2\boldsymbol{x}^{(2)}$ 的情况 $$x_1=c_2e^{-t},x_2=-2c_2e^{-t}$$ 解是直线 $x_2=-2x_1$，方向由特征向量 $\boldsymbol{\xi}^{(2)}$ 决定。当 $c_2>0$ 时解位于第四象限，$c_2<0$ 时解在第二象限。两种情况下，随着 $t$ 的增加，都趋于原点。

通解 $(17)$ 是 $\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}$ 的线性组合。当 $t$ 很大时，$c_1\boldsymbol{x}^{(1)}$ 占主导，$c_2\boldsymbol{x}^{(2)}$ 可以忽略不计。因此当 $c_1\neq 0$ 时，随着 $t\to\infty$，解趋于渐近线 $x_2=2x_1$。类似的，当 $c_2\neq 0$ 时，随着 $t\to -\infty$，解趋于渐近线 $x_2=-2x_1$。基础解析 $\boldsymbol{x}^{(1)},\boldsymbol{x}^{(2)}$ 分别使用了黑色虚线和实线表示。上图的轨迹模式是典型的 $2\times 2$ 具有符号相反的特征值是实数的方程组 $\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的解的行为。原点被称为鞍点（saddle point）。随着 $t$ 的增加，原有的轨迹都远离鞍点，因此是不稳定的。

上图中 $x_1,x_2$ 都是 $t$ 的函数，也可以分别画出它们关于 $t$ 的行为。如下图（b）（c）所示。对于某些初始条件，使得 $c_1=0$，那么 $x_1=c_2e^{-t}$，因此 $t\to\infty$ 时 $x_1\to 0$。下图（b）画出了该图像。对应于（a）中趋于原点的轨迹。不过对于大多数初始条件，$c1\neq 0$，此时 $x_1$​ 由 $x_1=c_1e^{3t}+c_2e^{-t}x1$ 给出。正指数项的存在使得随 $t$ 的增加 $x_1$​ 的绝对值呈指数增长。（b）中展示了几个这类图像，它们对应于（a）中远离原点的轨线。理解图（a）的方向场与（b）（c）部分的分量图之间的关系至关重要，因为这样可以在在 $x_1x_2$​ 平面上对解进行可视化，也可以将其视为自变量 $t$ 的函数进行可视化。

例 3 有如下方程组 $$\boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix} -3&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&-2 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}\tag{18}$$ 画出方向场，给出解的定性行为。然后求通解，画出相位图和一些轨迹。

解：下图是原点附近的方向场。

假定解是 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}e^{rt}$，代入 $(18)$ 得到代数方程组 $$\begin{pmatrix} -3-r&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&-2-r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi_1\\\xi_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\tag{19}$$ 特征值 $r$ 是方程 $$(-3-r)(-2-r)-2=(r+1)(r+4)=0\tag{20}$$ 的根。那么 $r_1=-1,r_2=-4$。

当 $r=-1$ 时，$(19)$ 是 $$\begin{pmatrix} -2&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi_1\\\xi_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\tag{ 21}$$ 因此 $\xi_2=\sqrt{2}\xi_1$。那么对应 $r_1=-1$ 的特征向量是 $$\boldsymbol{\xi}^{(1)}=\begin{pmatrix} 1\\\sqrt{2} \end{pmatrix}\tag{22}$$ 类似的，代入 $r_2=-4$，得到 $\xi_1=-\sqrt{2}\xi_2$，因此特征向量是 $$\boldsymbol{\xi}^{(2)}=\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix}\tag{23}$$ 微分方程的解是 $$\boldsymbol{x}^{(1)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\\sqrt{2} \end{pmatrix}e^{-t},\boldsymbol{x}^{(2)}(t)=\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix}e^{-4t}\tag{24}$$ 那么通解是 $$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=c_1\boldsymbol{x}^{(1)}(t)+c_2\boldsymbol{x}^{(2)}(t)\\ &=c_1\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}e^{3t}+c_2\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}e^{-t} \end{aligned}\tag{ 25}$$

方程组 $(18)$ 相图如下所示。$\boldsymbol{x}^{(1)}$ 的解是虚黑线表示，即直线 $x_2=\sqrt{2}x_1$，$\boldsymbol{x}^{(2)}$ 的解是实黑线表示，即直线 $x_1=-\sqrt{2}x_2$。这些直线的斜率由向量 $\boldsymbol{\xi}^{(1)},\boldsymbol{\xi}^{(2)}$ 确定。一般情况下是这基础解系的线性组合。当 $t\to\infty$ 时，$e^{-4t}$ 比 $e^{-t}$ 小的多，相比 $\boldsymbol{x}^{(1)}$ 而言 $\boldsymbol{x}^{(2)}$ 可以忽略。因此，除非 $c_1=0$，否则解 $(25)$ 趋于 $x_2=\sqrt{2}x_1$。

上图的轨迹模式是典型的 $2\times 2$ 具有符号相同的特征值是实数的方程组 $\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的解的行为。原点被称为节点（node）。 如果特征值是正的而不是负的，轨迹类似，不过方向朝外。如果特征值是负的，渐进是稳定的，特征是正的则是不稳定的。

一些典型的 $x_1-t$ 的曲线如下图（b）所示，相应的 $x_2-t$ 的曲线如（c）所示。随着 $t$ 的增加，两个图中的曲线都趋于 $t$ 轴，在上面（a）图中这些对应的解都趋于原点。

例 2 和例 3 中 $2\times 2$ 的方程组的特征值是实数且不同。特征值符号相反或者相同。还有一个可能性是特征值是 0，不过这意味着 $\det\boldsymbol{A}=0$，不过这和本节开始的假定不符。

回到 $n\times n$ 的方程组 $(1)$，处理方式和之前的例子相同。为了求解，首先求解 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量。特征值 $r_1,\cdots,r_n$ 是 $n$ 阶多项式方程组 $$\det(\boldsymbol{A}-r\boldsymbol{I})=0\tag{26}$$ 的根，它们不必完全不同。特征值和特征方程的性质决定了方程组 $(1)$ 的性质。假定 $\boldsymbol{A}$ 是实数矩阵，需要考虑 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是如下几种情况：

• 所有特征值是实数且都不相等。
• 一些特征值是共轭复数。
• 一些特征值是相等的，复数或者实数都适用。

如果 $n$ 个特征值都是实数且不相等，那么特征值的代数重数和几何重数相等。每一个特征值 $r_i$ 都关联一个特征向量 $\boldsymbol{\xi}_i$，$n$ 个特征向量 $\boldsymbol{\xi}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{\xi}^{(1)}$ 都线性无关的。微分方程组 $(1)$ 的解是 $$\boldsymbol{x}^{(1)}(t)=\boldsymbol{\xi}^{(1)}e^{r_1t},\cdots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)=\boldsymbol{\xi}^{(n)}e^{r_nt}\tag{27}$$ 为了证明这些解可以构成基础解析，计算其朗斯基 $$\begin{aligned} W[\boldsymbol{x}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{x}^{n}](t)&=\begin{vmatrix} \xi_1^(1)e^{r_1t}&\cdots&\xi_1^{(n)}e^{r_nt}\\ \vdots&&\vdots\\ \xi_n^(1)e^{r_1t}&\cdots&\xi_n^{(n)}e^{r_nt}\\ \end{vmatrix}\\ &=e^{(r_1+\cdots+r_n)t}\begin{vmatrix} \xi_1^{(1)}&\cdots&\xi_1^{(n)}\\ \vdots&&\vdots\\ \xi_n^{(1)}&\cdots&\xi_n^{(n)}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}\tag{28}$$ 首先，指数函数不为零。齐次，特征向量 $\boldsymbol{\xi}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{\xi}^{(n)}$ 是线性无关的，因此 $(28)$ 最后的行列式不为零，那么朗斯基 $W[\boldsymbol{x}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{x}^{(n)}]$ 不为零。因此 $\boldsymbol{x}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{x}^{(n)}$ 是基础解系，那么方程组 $(1)$ 的通解是 $$\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{\xi}^{(1)}e^{r_1t}+\cdots+c_n\boldsymbol{\xi}^{(n)}e^{r_nt}\tag{29}$$ 如果 $\boldsymbol{A}$ 是实数对称的，是埃尔米特矩阵，那么所有的特征值 $r_1,\cdots,r_n$ 都必须是实数，即使一些特征值重复了，也总能找到 $n$ 个特征向量 $\boldsymbol{\xi}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{\xi}^{(n)}$ 是线性无关的，因此方正组 $(1)$ 的基础解系是 $(27)$，通解是 $(29)$。

例 4 求 $$\boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix} 0&1&1\\1&0&1\\1&1&0 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}\tag{30}$$ 的通解。

解：系数矩阵是实数且是对称的。7.3 的例 5 给出了特征值和特征向量。 $r_1=2$ 的特征向量是 $$\boldsymbol{\xi}^{(1)}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\tag{31}$$ $r_2=r_3=-1$ 对应的特征向量是 $$\boldsymbol{\xi}^{(2)}=\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix},\boldsymbol{\xi}^{(3)}=\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}\tag{32}$$ 因此方程 $(30)$ 的基础解系是 $$\boldsymbol{x}^{(1)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\1\\11 \end{pmatrix}e^{2t},\boldsymbol{x}^{(t)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}e^{-t},\boldsymbol{x}^{(3)}=\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}e^{-t}\tag{33}$$ 因此通解是 $$\boldsymbol{x}=c_1\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}e^{-t}+c_3\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}e^{-t}\tag{34}$$ 这个例子中特征值 $r=-1$ 的代数重数是 2，仍旧有可能找到两个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\xi}^{(2)},\boldsymbol{\xi}^{(3)}$，最终构造了通解 $(34)$。

解 $(34)$ 的行为依赖于初始条件。对于 $t$ 很大的时候，由于 $(34)$ 的第一项指数是整数，那么占主导地位。因此 $c_1\neq 0$ 时，随着 $t\to\infty$，$\boldsymbol{x}$ 会无穷大。对于使得 $c_1=0$ 的初始条件，只有指数为负数的项，那么随着 $t\to\infty$，$\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{0}$。使 $c_1=0$ 的初始点，正是位于由 $\boldsymbol{\xi}^{(2)},\boldsymbol{\xi}^{(3)}$ 确定的平面内的点。从这个平面开始的解，随着 $t\to\infty$ 都趋于原点而其他解趋于无穷。

如果一些特征值是共轭复数，它们都不相等，那么仍旧有 $n$ 个线性无关的解。复数特征值对应的解也是复数的。和 3.3 小节类似，还是可以转化成实数解，下一节会讨论这个问题。

如果特征值重复了，问题会复杂一些。此时，线性无关的特征向量少于特征值的代数重数，那么形如 $\boldsymbol{\xi}e^{rt}$ 的解的个数少于 $n$。为了构造出基础解系，有必要去找到其他形式的解。与 $n$ 阶常系数线性方程类似，特征方程的重复根对应的解的形式是 $e^{rt},te^{rt},t^2e^{rt},\cdots$。7.8 小节会讨论这种情况。

如果 $\boldsymbol{A}$ 是复数矩阵，那么复数特征值未必共轭出现，并且即使特征值是实数，对应的特征向量可能是复数向量。如果有 $n$ 个线性无关的特征向量，那么方程 $(1)$ 的解的形式仍旧如 $(27)$，不过通常解是复数的。