060 复特征值 Complex-Valued Eigenvalues

这一节继续讨论 $n$ 个方程组成的常系数线性齐次方正组 $$\bold{x}'=\bold{A}\bold{x}\tg1$$ 其中系数矩阵 $\bold{A}$ 是实数矩阵。如果解的形式是 $\bold{x}=\bold{\xi}e^{rt}$，那么 $r,\bold{\xi}$ 是系数方程 $\bold{A}$ 的特征值和特征向量。$\bold{A}$ 的特征值 $r_1,\cdots,r_n$ 是特征方程 $$\det(\bold{A}-r\bold{I})=\bold{0}\tag{2}$$ 的根，相应的非零特征向量满足 $$(\bold{A}-r\bold{I})\bold{\xi}=\bold{0}\tag{3}$$ 如果 $\bold{A}$ 的系数是实数，多项式方程 $(2)$ 的系数是实数，任意复数根会共轭出现。如果 $r_1=\lambda+i\mu$ 是 $\bold{A}$ 的特征向量，其中 $\lambda,\mu$ 是实数，那么 $r_2=\lambda-i\mu$ 也是 $\bold{A}$ 的特征向量。在正式讨论之前先看个例子。

例 1 求方程组 $$\bold{x}'=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}&1\\-1&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\bold{x}\tag{4}$$ 的实数基础解系。给出相图和一些解的曲线。

解：下图是方程组 $(4)$ 的方向场。解的轨迹顺时针向原点旋转。

假定解的形式是 $$\bold{x}=\bold{\xi}e^{rt}\tag{5}$$ 那么得到线性方程组 $$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}-r&1\\-1&-\frac{1}{2}-r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi_1\\\xi_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\tag{6}$$ 特征方程是 $$\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}-r&1\\-1&-\frac{1}{2}-r \end{vmatrix}=r^2+r+\frac{5}{4}=0\tag{7}$$ 因此特征值是 $r_1=-\frac{1}{2}+i,r_2=0\frac{1}{2}-i$，代入 $(6)$ 得到对应的特征向量是 $$\bold{\xi}^{(1)}=\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix},\bold{\xi}^{(2)}=\begin{pmatrix} 1\\-i \end{pmatrix}\tag{8}$$ 从上面可以看出特征向量 $\bold{\xi}^{(1)},\bold{\xi}^{(2)}$ 也互为复共轭。因此方程组 $(4)$ 的基础解析是 $$\bold{x}^{(1)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix}e^{(-1/2+i)t},\bold{x}^{(2)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\-i \end{pmatrix}e^{(-1/2-i)t}\tag{9}$$ 为了获得实数解，可以取 $\bold{x}^{(1)}$ 或 $\bold{x}^{(2)}$ 的实部和虚部。那么 $$\bold{x}^{(1)}(t)=\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix}e^{-t/2}(\cos t+i\sin t)=\begin{pmatrix} e^{-t/2}\cos t\\-e^{-t/2}\sin t \end{pmatrix}+i\begin{pmatrix} e^{-t/2}\sin t\\e^{-t/2}\cos t \end{pmatrix}\tag{10}$$ 因此方程组 $(4)$ 的实数解是 $$\bold{u}(t)=e^{-t/2}\begin{pmatrix} \cos t\\-\sin t \end{pmatrix},\bold{v}=e^{-t/2}\begin{pmatrix} \sin t\\\cos t \end{pmatrix}\tag{11}$$ 它们的朗斯基是 $$W[\bold{u},\bold{v}]=\begin{vmatrix} e^{-t/2}\cos t&e^{-t/2}\sin t\\ -e^{-t/2}\sin t&e^{-t/2}\cos t \end{vmatrix}=e^{-t}$$ 不会为零，因为 $\bold{u},\bold{v}$ 是线性无关的，是方程组 $(4)$ 的基础解系。

解 $\bold{u},\bold{v}$ 的图分别在下图中黑色实线和虚线表示。

因为 $$\bold{u}(0)=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\bold{v}(0)=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$ 因此 $\bold{u},\bold{v}$ 分别会通过 $(1,0),(0,1)$。方程组 $(4)$ 的其他解是这两个解的线性组合，其中一些如上图所示。当 $t\to\infty$ 时，每个解都沿着螺旋线趋于原点，并绕着原点旋转无数次，这是因为解 $(11)$ 是一个衰减的指数和正弦、余弦函数的乘积。下图是 $x_1$ 随 $t$ 变化的图像如下（b）所示，每一条曲线代表一种随时间衰减的振荡。$x_2$ 随 $t$ 变化的图像如（c）所示。

上面的（a）图是一个典型的特征值是共轭复数且实部为负数的 $2\times 2$ 的方程组 $\bold{x}'=\bold{A}\bold{x}$ 的解的图像。原点称为螺旋点（spiral point），随着 $t$ 的增加，所有轨迹都趋于原点，因此是渐进稳定的。如果复数的实部是正数，图像也和（a）类似，不过轨迹方向是远离原点的，因此轨迹会变得无穷大，此时原点是不稳定的。

如果实部为零，那么既不会趋于原点也不会远离原点，轨迹是周而复始的绕着原点的曲线。后续会有这样的例子。此时原点称为中心（center），也被称为是稳定的，但不是渐进稳定的。这三种情况下，运动方向可能是顺时针，也可能是逆时针，这依赖于系数矩阵 $\bold{A}$。

上面的图是计算机辅助作图，但是人工可以给出草图。假设特征值是 $\lambda\pm i\mu$，如果 $\lambda<0$，向内旋转，$\lambda>0$，向外旋转，如果 $\lambda=0$，那么是闭合曲线。为了确定是顺时针还是逆时针，只需要确定一个点的方向即可。比如 $(4)$ 中我们选择 $\bold{x}=(0,1)^T$，那么 $\bold{A}\bold{x}=(1,-\frac{1}{2})^T$。因此该点处切线方向 $\bold{x}'$ 确定了，$x_1$ 方向上是正的，因此轨迹从第二象限到第一象限，那么是顺时针运动。