070 基解矩阵 Fundamental Matrices
通过引入基解矩阵的概念，可以进一步阐明线性微分方程组解的结构。假定 是方程
在某个区间 的基础解系。那么矩阵
是方程 的基解矩阵（fundamental matrix）。由于列是线性无关的，那么基解矩阵是非奇异的。
例 1 求方程组 的基解矩阵。
解：7.5 小节的例 2 已经求得了基础解系 因此 的基解矩阵是
使用基解矩阵可以将初值问题的解写成非常紧凑的形式。 的通解是 使用 可以写作 其中 是任意分量 的向量。对于一个包含 和如下初始条件的初值问题， 其中 是区间 的给定点， 是给定的初始向量，要求解一个 满足初始条件 。因此 必须满足 由于 是非奇异的，那么 因此 是初值问题 的解。为了求解初值问题，我们一般用高斯消元法求解 中的 然后代入 得到答案而不是计算 里面的 。
基解矩阵 的每一列都是 的解，那么 满足矩阵微分方程 通过逐列比较 的两边，可以很容易验证正确性。
有时使用特殊的基解矩阵会很方便，特殊的基解矩阵用 来表示，它的每一列是由定理 7.4.4 定义的向量 。除了微分方程 之外，这些向量还满足 其中 定理 7.4.4 定义的单位矢量，第 个位置上 1 其余位置都是 0.因此 我们使用 表示满足初始条件 的基解矩阵，使用 来 表示任意基解矩阵。使用 来表示初值问题 的话会非常紧凑，由于 ，那么 尽管基解矩阵 要比 复杂，但是如果需要在很多不同初始条件下反复求解微分方程组的话就非常有用。这对应着一个物理物体有很多不同的初始状态。如果基解矩阵 已经有了，那么用每一组初始条件乘以矩阵就可以得到解，如 。矩阵 表示从初始条件 到任意时刻 的解 的转换。对比 ，可以得到 。
例 2 例 1 中的方程组是 求满足 的基解矩阵。
解：满足初始条件 的 的解组成了 的列。由于通解是 满足第一个初始条件的话，，满足第二个初始条件的话，，因此 这里基解矩阵 比 给出的基解矩阵 要复杂，不过对于任意初始条件，很容易求出解。
矩阵
标量初值问题 的解是 其中 是常量。
下面是 的方程组 其中 是常量矩阵。根据之前的讨论，解是 其中 。对于初值问题 和解 ，矩阵 或许有指数特征。
标量指数函数 可以写成幂级数形式 对于所有 都收敛。现在将 换成 的矩阵 ，1 换成 的单位矩阵 ，那么级数是 的每一项都是一个 的矩阵。可以证明对于所有的 ，当 时，矩阵的每一项都收敛。因此级数 定义为了一个新的矩阵，用 表示 对级数 微分 那么 将 代入 ，那么 满足初值条件 基解矩阵 也满足这是初值问题，即 根据定理 7.1.2 的解的唯一性， 和 是相等的，因此初值问题 的解也可以写成 这和 是初值问题 类似。
为了更确凿地论证用 表示级数 的和是合理的，我们应当证明该矩阵函数具有指数函数的性质。根据定义，不难证明一下性质