010 和与积 Sums and Products

复数（complex number）可以定义为一组实数对 $(x,y)$，可以看作是复平面（complex plane）上的一个点，坐标分别是 $x,y$，类似于 $x$ 是实数轴上的一个点。实数 $x$ 可以表示为实轴（real axis）上的一个点 $(x,0)$，可以写作 $x=(x,0)$。因此实数是复数的一个子集。当 $y\neq 0$ 时，形式为 $(0,y)$ 的复数称为纯虚数（pure imaginary number），它们位于 $y$ 轴上，$y$ 轴也称为虚轴（imaginary axis）。

习惯上将复数 $(x,y)$ 表示为 $z$。 $$z=(x,y)\tag{1}$$

TODO

实数 $x,y$ 分别是 $z$ 的实部（real part）和虚部（imaginary part），写作 $$x=\text{Re } z,y=\text{Im }z\tag{2}$$ 两个复数 $z_1,z_2$ 相等意味着实部和虚部对应相等，在复平面上是同一个点。

如果 $$z_1=(x_1,y_1),z_2=(x_2,y_2)$$ 那么和（sum）和积（product）的定义是 $$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\tag{3}$$ $$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)\tag{4}$$ 如果限制在实数范围，$(3),(4)$ 定义的操作变成了普通的实数的加法和乘法。 $$(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0)$$ $$(x_1,0)(x_2,0)=(x_1x_2,0)$$ 因此，复数系统是实数系统的扩展。

任意的复数 $z=(x,y)=(x,0)+(0,y)$，并且很容易验证 $(0,1)(y,0)=(0,y)$，那么 $$z=(x,0)+(0,1)(y,0)$$ 如果 $x$ 和 $(x,0)$ 都表示实数，$i$ 表示纯虚数 $(0,1)$，那么 $$z=x+iy\tag{5}$$ 按照惯例 $z^2=zz,z^3=z^2z$，于是有 $$i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)$$ 或者写作 $$i^2=-1\tag{6}$$ $z=x+iy$ 代入 $(3),(4)$ 得到 $$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\tag{7}$$ $$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\tag{8}$$ 注意方程右侧，有了 $i^2=-1$ 之后，上述运算完全是实数的运算法则。

从 $(8)$ 可知任意复数 $z=x+iy$ 乘以零结果都是零，即 $$z\cdot 0=(x+iy)(0+i0)=0+i\cdot 0=0$$