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三角函数与反三角函数

恒等式

参考 1.3 小节 $$\sin mx\sin nx=\frac{1}{2}[\cos(m-n)x-\cos(m+n)x]$$ $$\sin mx\cos nx=\frac{1}{2}[\sin(m-n)x+\sin(m+n)x]$$ $$\cos mx\cos nx=\frac{1}{2}[\cos(m-n)x+\cos(m+n)x]$$ $$\tan^2 x=\sec^2 x-1$$

三角函数导数

参考 3.5 小节 $$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$ $$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$ $$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x$$ $$\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x$$ $$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$$ $$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$$

反三角函数导数

参考 3.9 小节 $$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1$$ $$\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1$$ $$\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$$ $$\frac{d}{dx}\cot^{-1}x=-\frac{1}{1+x^2}$$ $$\frac{d}{dx}\sec^{-1}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1$$ $$\frac{d}{dx}\csc^{-1}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1$$

三角函数积分

参考 5.5 小节 $$\int\tan xdx=\ln|\sec x|+C$$ $$\int\cot xdx=\ln|\sin x|+C$$ $$\int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$ $$\int\csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C$$ $$\int\sin^2x dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$$ $$\int\cos^2x dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$$

双曲函数及其反函数

定义

参考 7.3 小节 $$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ $$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$ $$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$ $$\operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$$ $$\operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$$ $$\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),-\infty<x<\infty$$ $$\cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),x\geq 1$$ $$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},|x|<1$$ $$\coth^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1},|x|>1$$ $$\operatorname{sech}^{-1}x=\ln\bigg(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\bigg),0<x\leq 1$$ $$\operatorname{csch}^{-1}x=\ln\bigg(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\bigg),x\neq 0$$

恒等式

参考 7.3 小节 $$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x$$ $$\cosh^2 x=\frac{\cosh 2x+1}{2}$$ $$\sinh^2 x=\frac{\cosh 2x-1}{2}$$ $$\tanh^2 x=1-\operatorname{sech}^2 x$$ $$\coth^2 x=1+\operatorname{csch}^2 x$$ $$\operatorname{sech}^{-1}x=\cosh^{-1}\frac{1}{x}$$ $$\operatorname{csch}^{-1}x=\sinh^{-1}\frac{1}{x}$$ $$\coth^{-1}x=\tanh^{-1}\frac{1}{x}$$

和差倍半

$$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$$ $$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x=\cosh^2x+\sinh^2x$$

微分

参考 7.3 小节 $$\frac{d}{dx}\sinh u=\cosh u\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\cosh u=\sinh u\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\tanh u=\operatorname{sech}^2 u\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\coth u=-\operatorname{csch}^2 u\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\operatorname{sech} u=-\operatorname{sech} u\tanh u\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\operatorname{csch} u=-\operatorname{csch} u\coth u\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\sinh^{-1}u=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\frac{du}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}\cosh^{-1}u=\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\frac{du}{dx},u>1$$ $$\frac{d}{dx}\tanh^{-1}u=\frac{1}{1-u^2}\frac{du}{dx},|u|<1$$ $$\frac{d}{dx}\coth^{-1}u=\frac{1}{1-u^2}\frac{du}{dx},|u|>1$$ $$\frac{d}{dx}\operatorname{sech}^{-1}u=-\frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx},0<u<1$$ $$\frac{d}{dx}\operatorname{csch}^{-1}u=-\frac{1}{|u|\sqrt{1+u^2}}\frac{du}{dx},u\neq 0$$

积分

参考 7.3 小节 $$\int\sinh udu=\cosh u+C$$ $$\int\cosh udu=\sinh u+C$$ $$\int\operatorname{sech}^2 udu=\tanh u+C$$ $$\int\operatorname{csch}^2 udu=-\coth u+C$$ $$\int\operatorname{sech} u\tanh udu=-\operatorname{sech} u+C$$ $$\int\operatorname{csch} u\coth udu=-\operatorname{csch} u+C$$ $$\int\operatorname{sech}udu=\tan^{-1}(\sinh u)+C$$ $$\int\operatorname{sech}udu=\sin^{-1}(\tanh u)+C$$ $$\int\frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}=\sinh^{-1}\frac{u}{a}+C,a>0$$ $$\int\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}=\cosh^{-1}\frac{u}{a}+C,0<a<u$$ $$\int\frac{du}{a^2-u^2}=\begin{cases} \frac{1}{a}\tanh^{-1}\frac{u}{a}+C,u^2<a^2\\ \frac{1}{a}\coth^{-1}\frac{u}{a}+C,u^2>a^2 \end{cases}$$ $$\int\frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\frac{u}{a}+C,0<u<a$$ $$\int\frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\bigg|\frac{u}{a}\bigg|+C,u\neq 0,a>0$$

泰勒级数

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n,|x|<1$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-x)^n+\cdots=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n,|x|<1$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},|x|<\infty$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},|x|<\infty$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!},|x|<\infty$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},-1<x\leq 1$$ $$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1},|x|\leq 1$$

空间中的曲线

单位切矢量 $$\boldsymbol{T}=\frac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|}$$ 主单位法矢量 $$\boldsymbol{N}=\frac{d\boldsymbol{T}/dt}{|d\boldsymbol{T}/dt|}$$ 次法线矢量 $$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{T}\times\boldsymbol{N}$$ 曲率 $$\kappa=\bigg|\frac{d\boldsymbol{T}}{ds}\bigg|=\frac{|\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{v}|^3}$$ 扭矩 $$\tau=-\frac{d\boldsymbol{B}}{ds}\cdot\boldsymbol{N}=\frac{\begin{pmatrix} \dot{x}&\dot{y}&\dot{z}\\ \ddot{x}&\ddot{y}&\ddot{z}\\ \dddot{x}&\dddot{y}&\dddot{z} \end{pmatrix}}{|\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{a}|^2}$$ 加速度的切向和法向分量 $$\begin{aligned} \boldsymbol{a}&=a_T\boldsymbol{T}+a_N\boldsymbol{N}\\ a_T&=\frac{d}{dt}|\boldsymbol{v}|\\ a_N&=\kappa|\boldsymbol{v}|^2=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2-a_T^2} \end{aligned}$$

坐标转换公式

详情参考 14.7

柱坐标系到直角坐标系 $$\begin{aligned} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta\\ z&=z \end{aligned}$$ 球坐标系到直角坐标系 $$\begin{aligned} x&=\rho\sin\phi\cos\theta\\ y&=\rho\sin\phi\sin\theta\\ z&=\rho\cos\phi \end{aligned}$$ 球坐标系到柱坐标系 $$\begin{aligned} r&=\rho\sin\phi\\ z&=\rho\cos\phi\\ \theta&=\theta \end{aligned}$$ 三维积分 $$\begin{aligned} dV&=dxdydz\\ &=rdzdrd\theta\\ &=\rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta \end{aligned}$$