145 Reversible Numbers
有这样一些数 ，和所以数字逆着写的数 之和的所有数字都是奇数。比如 等等，这些数我们称之为可逆数。有一个限制条件就是开头不能是 0。
问题是，小于十亿（1,000,000,000）的数中有多个可逆数。
这道题可以通过分类讨论来解决。
首先 的长度是奇数和偶数明显是两类，因为这意味着有没有正好居于中间的数。对于奇数长度来说，有，且反过来还是该数字。
我们先来考虑长度是偶数的时候。
长度为 2 的时候，不妨把该数写作 ，其逆就是 。以 是否大于等于 10 来讨论。
大于等于 10 的情况，不妨令 ，那么 ， 和 奇偶性必然不同，不可能数字都是奇数。
小于 10 的情况，那么 是奇数。 是偶数，可选 ， 是奇数，可选 ，之和小于 的情况一共 10 种可能性。反之， 是奇数， 是偶数，也是 种。
所以长度为 2 的可逆数一共 20 个。
长度为 4 的时候，该数可写作 ，其逆就是 。以 是否大于等于 10 来讨论。
大于等于 的情况，不妨令 。若 大于等于 10，和最后一位是 ，右起第四位是 ，不可能都是奇数；若 小于 10，不能是 9，否则和的右起第二位是 0，不满足题意，如果是其他奇数，右起第二位和 ，而右起第三位是 ，也不可能同时是奇数。
小于 10 的情况， 和 的取值可能性有 20 种，中间的 退化为长度为 2 的情况，取值的可能性有 30 种（偶数可以为0，因为不打头了），利用乘法原则，共有 600 个可逆数。
所以长度为 4 的可逆数一共 600 个。
长度为 6 的时候，该数可以写作 ，其逆就是 。以 是否可以大于等于 10 来讨论。
大于等于 10 的情况，原理和 4 位时一样， 不能大于等于 10。能小于 10 吗？为了保证 得到的值和 得到的值一样，那么 就要大于 10。但是 不进位，而 进位，导致右起 3, 4 位一定不能同时是奇数。
小于 10 的情况，中间 4 个数回到了上一种情况，所以可能性是 。
所以长度为 6 的可逆数一共是 18,000 个。
长度为 8 的时候，该数可以写作 ，其逆就是 。同样，以 是否可以大于等于 10 来讨论。
在大于等于 10 的情况下，原理同上， 不能大于等于 10，那么 就只能小于 10 了。同上， 就要大于等于 10。为了使得中间两位的奇偶性一致，那么 要大于 10，结果就是右起第三位数字是 模 10（因为 小于 10），而右起第六位数字是 模10，这俩不可能同时是奇数。
小于 10 的情况，中间六个数字回到了上一种情况，所以可逆数是 。
所以长度为 8 的可逆数一共是 540,000 个。
现在来讨论 的长度为奇数。
如果长度是 1，反过来是其本身，那么和是偶数，不符合题意。
长度是 3，可写作 ，可逆数是 。中间数字的和是偶数，那么 必须大于 10，为了右起第一位和第三位奇偶性相同，那么 不能进位，所以 要小于等于4，那么 有五种可取值；我们现在讨论 和 ， 是奇数 ， 是偶数 ，其和大于 10 的可能性有 10 种可能性， 是偶数 是奇数也有 10 种，那么可逆数是 。
长度是 5 时，可写作 ，可逆数是 。中间是 ，所以 是大于等于 10 的，右起第一位是 ，但是右起第五位是 ，不可能同时是奇数，所以 的长度不可能是 5。
长度为 时，可写作 ，可逆数时 。中间是 ，所以 是大于等于 10 的。根据前面的分析， 必须小于 10；进而 要小于 10。右起第六位会接受来此 的进位，那么右起第二位也必须接受一个进位，所以 必须大于 10。 小于 10 得出 有 5 种可能性， 大于 10 且和为奇数共有 20 种可能性， 大于 10 且和为奇数也有 20 种， 小于 10 且为偶数的可能性有 25 种。所以可逆数是 。
长度为 9 的时候，可写作 ，其可逆数是 。由前面的分析可知 要大于等于 10，那么为了让右起第三位 和右起第七位 同时为奇数，那么 也必须大于 10，那么 得到 的进位，无法和右起第一位 同奇偶，矛盾，所以长度不能是 9。
综上，小于十亿的可逆数是 608720 个。