怎样解题

2016 年读的这本书。以下内容也是写于 2016 年。

开篇第一章，讲了老师应该如何教学，如何适当的提示学生，这是一件非常困难的事情，在我学生时代，也有过类似的经历，提示的太多，一下子有了思路或者解决方案，导致自己在思维上没有太多的训练了，提示的太少，又和没有提示有太多的区别。不过这个作者当老师很多年，很有心得，知道如何把握这个度，在后续的章节，基本都是按照这种循序渐进的方式讲述，挺好的。

书中阐述了很多的方法，结合书中给出的示例，解释的很清晰。其实很多方法我们平时，或者说在以前的学习工作中，无意识的使用过，只是没有使用文字描述出来罢了。比如有时候思考欧拉题目的时候，把问题分解再重组，有的时候迷失在一个点的时候要想到是不是还有条件没有用上，又或者是往等价的问题上去考虑等等，这些想法在本书中都详细的阐述，更精准更具象，而不是直觉上的。

作者也阐述了很多其他的方法论，也都挺实用的，但是美中不足的是，有的示例题目本身并没有解决就结束了：他只阐述到能够表明作者方法的地方就完事了，可以理解，毕竟，作者是要用示例来阐述他的方法论而不是具体的题目本身，但是，没有解完导致我要去想一想，很多还搞不定，费时又打击人，哎，还需要加强数学方面的学习啊。

书中说了一个概念，叫做完美描述的题目，题中的题设对于解题来说都是必要的，即没有多余的条件，并且是完全充分的，即不缺少条件，最后，条件中没有相互矛盾。这样的题目才适用于他说的一些方法，比如检验和思考过程时要考虑题目条件都用到了吗。其实，我们学生时代做的多数题目都是这样的题目，所以一般情况下，不用去质疑题目本身。

画图是一种很好的解题的方式，不仅仅可以用于几何题，非几何题也通过画图来给自己更多的灵感。不过画图也是一门学问，个人觉得，首先，如果题目没有特殊要求的话，画的图形最好也更一般比较好，不要故意画出等腰三角形，两条线段一样长之类的，可能会给人误导，其次呢，如果能真实等比例最好，如果需要借助太多工具才能真实，这样可能会很费时，还是直接画比较好，需要注意的是，尽可能的真实的反映题目，因为图形本身可以给我们灵感，最后，使用不同的线或者类似的区别物来以示区别，看起来更清楚一些，比如实线虚线表示不同的作用。

如果遇到了一道你不会的题目，失败的挫折感一直折磨你，换一道类似的较为容易的题目去做，这可能会给你启发，还会调动出可能需要的知识，还能帮你建立解决问题的信心。

变化题目这件事情，几乎贯穿我们解题的过程，除非是一道非常容易非常直接的题目。我们不管的观察未知量，把题目分解重组，使用了诸如普遍化、特殊化、类比等等的思想，都是为了解题，有时，我们还会利用引入辅助元素——辅助题目这些方法来解题。

探索法也是很重要的，特别是在某些关键点，我们可能会先猜测某个结论，然后继续证明下去，但是这种猜测并不能替代严格的证明，回过头我们还是必须证明我们猜测是否正确。

书中作者不止一次提到，他所阐述的方法，是一种普世的方法论，不限于解决数学题，在日常中遇到的问题，也可以使用这些方法去解决。比如类比，我在理解一个新的计算机概念的时候，经常类比成一个已知的概念，很多作者写书也是这么做的。

归谬法小节，一个很有意思的题目，0 到 9 十个数字，只能使用一次，组成的若干个数字，和为100。最后使用归谬法，证明这是不可能的（另外一个可能的直接证明是舍九法）。间接证明，小时候说的反证法，也举了一个很有意思的题目，质数是无穷个。假设质数有限多，最大的是 ，那么 ，除以假定的现有的质数，都剩余 1，那么在假定条件下， 是质数，且比 大，那么假定不成立，反面，即质数是无穷多个，成立。

教学的两条规则，第一是教什么，第二是你知道的应该比你想要教的东西多。拿出这一条，是想说，教别人某种东西，会更好的提供自己在这个领域的积累，只少能够把现有的东西熟悉到不能再熟悉，真正的做到融会贯通。

此书最后一个部分包含了 20 道题目，基本上属于高中竞赛或者初中竞赛的的难度，或者更低一点，不过选题的角度都非常好，都很具有代表性，而且题目也尽可能的覆盖多个主题，有几何，有代数，有递归，有证明。

用书里的某句话结束，灵感，是神的恩赐，你必须努力工作，或者至少有强烈的愿望，才配得到这样的恩赐。加油！